การตัดไม้ที่เท่าเทียมกันจากไม้ที่แตกต่างกัน

คุณมีแท่งของความยาวโดยพลการไม่จำเป็นต้องเป็นหนึ่ง$n$

โดยการตัดไม้บางส่วน (หนึ่งตัดตัดหนึ่งแท่ง แต่เราสามารถตัดได้บ่อยเท่าที่เราต้องการ) คุณต้องการที่จะได้รับแท่งเช่นนั้น:$k<n$

• ทั้งหมดเหล่านี้แท่งมีความยาวเดียวกัน;$k$
• แท่งทั้งหมดอย่างน้อยก็เท่ากับแท่งอื่น ๆ ทั้งหมด$k$

โปรดทราบว่าเราได้รับแท่งหลังจากทำการตัด$n + C$$C$

คุณใช้อัลกอริทึมแบบใดที่จำนวนการตัดที่จำเป็นน้อยที่สุด? และหมายเลขนั้นคืออะไร?

ยกตัวอย่างเช่นใช้และใด ๆ อัลกอริทึมต่อไปนี้สามารถใช้ได้:n ≥ $k=2$$n\geq 2$

• สั่งซื้อไม้โดยการเรียงลำดับของความยาวดังกล่าวว่าL_n$L_1\geq L_2 \geq \ldots \geq L_n$
• ถ้าตัดแปะ # 1 ถึงสองชิ้นเท่ากัน ขณะนี้มีสองแท่งความยาวซึ่งเป็นอย่างน้อยเป็นเวลานานเป็นไม้ที่เหลือnL 1 / 2 2 ... $L_1\geq 2 L_2$$L_1 / 2$$2 \ldots n$
• มิฉะนั้น ( ) ตัดติด # 1 ถึงสองชิ้นไม่เท่ากันขนาดและL_1-L_2ขณะนี้มีสองแท่งความยาวซึ่งมีความยาวมากกว่าและไม้อื่น ๆnL 2 L 1 - L 2 L 2 L 1 - L 2 3 … $L_1 < 2 L_2$$L_2$$L_1-L_2$$L_2$$L_1-L_2$$3 \ldots n$

ในทั้งสองกรณีการตัดครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว

ฉันพยายามที่จะพูดคุยเรื่องนี้กับใหญ่กว่าแต่มีหลายกรณีที่ต้องพิจารณา คุณสามารถหาทางออกที่สง่างาม?$k$

การสังเกตหลักแรกเพื่อแก้ปัญหานี้ก็คือความเป็นไปได้ที่มีความยาวตัด ,$l$

$\qquad\displaystyle \operatorname{Feasible}(l) = \biggl[\, \sum_{i=1}^n \Bigl\lfloor\frac{L_i}{l} \Bigr\rfloor \geq k \,\biggr]$ ,

เป็นค่คงซ้ายอย่างต่อเนื่องและไม่เพิ่มขึ้นในลิตรเนื่องจากจำนวนการตัดที่จำเป็นมีลักษณะคล้ายกันดังนั้นการค้นหาความยาวที่เหมาะสมจึงเป็นเพียง$l$

$\qquad\displaystyle l^{\star} = \max \{ l \mid \operatorname{Feasible}(l) \}$\}

นอกจากเป็นคำตอบอื่น ๆ ได้เสนอทั้งหมดต่อเนื่องกระโดดมีรูปแบบเจ สิ่งนี้ทำให้เรามีปัญหาการค้นหาแบบแยกส่วนหนึ่งมิติที่คล้อยตามการค้นหาแบบไบนารี (หลังจากเรียงลำดับชุดผู้สมัครที่ จำกัด )$L_i/j$

โปรดทราบว่าเราจะต้องพิจารณาที่สั้นกว่า -largest อันเดียวเท่านั้นเนื่องจากจะเป็นไปได้เสมอ$L_i$$k$

จากนั้นขอบเขตที่ต่างกันบนนำไปสู่อัลกอริทึมของประสิทธิภาพที่แตกต่างกัน$j$

• $1 \leq j \leq k$ส่งผลให้มีพื้นที่การค้นหาขนาดกำลังสอง (เป็น ),$k$
• $1 \leq j \leq \lceil k/i \rceil$ใน linearithmic หนึ่ง (สมมติว่าเรียงตามขนาดลดลง) และ$L_i$
• ขอบเขตที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติมเล็กน้อยในเส้นตรง

ใช้นี้เราสามารถแก้ปัญหาที่นำเสนอในเวลาและพื้นที่k)$\Theta(n + k \log k)$$\Theta(n + k)$

หนึ่งต่อไปคือการสังเกตว่าผลรวมในเติบโตในโดยสำหรับผู้สมัครแต่ละคน "ผ่าน" ที่ซ้ำกันนับ เมื่อใช้สิ่งนี้เราสามารถใช้การเลือกอันดับแทนการค้นหาไบนารี่และรับอัลกอริทึมที่ทำงานในเวลาและพื้นที่ซึ่งเหมาะสมที่สุด$\mathrm{Feasible}$$l$$1$$L_i/j$$\Theta(n)$

ค้นหารายละเอียดในบทความอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพของเราสำหรับส่วนแท่ง Envy ฟรีที่มีการตัดน้อยที่สุด (โดย Reitzig และ Wild, 2015)

ตามที่ @randomA แนะนำเราจะดำเนินการในสองขั้นตอน: ก่อนอื่นเราจะพบชุดของแท่งที่จะถูกตัดแล้วลดจำนวนการตัด

เช่นเดียวกับในกรณีพิเศษในคำถามที่เราเรียงลำดับ / ชื่อไม้เพื่อให้L_n นี้จะใช้เวลาเวลา$L_1 \ge L_2 \ge \dots \ge L_n$$O(n\log n)$

ในฐานะที่เป็น @ user1990169 ชี้ว่าเราไม่เคยมีการตัดชิ้นส่วนk$i\ge k$

ในระยะแรกเราใช้การค้นหาแบบไบนารี่เพื่อค้นหาหมายเลข , , เพื่อให้แท่งสามารถตัดเป็นอย่างน้อยชิ้นขนาด (บวกชิ้นเล็ก ๆ ) แต่แท่งไม่สามารถตัดเป็นชิ้นขนาด{s-1} นี้จะใช้เวลาเวลา$s$$1\le s \le k$$1, \dotsc, s$$k$$L_s$$1, \dotsc, s-1$$k$$L_{s-1}$$O(k\log k)$

ถ้าค่านี้เป็นขนาดที่เหมาะสมและเราสามารถข้ามเฟสที่สองได้$L_{s-1} = L_s$

มิฉะนั้นเรารู้ว่าขนาดที่เหมาะสมที่สุดทำให้เป็นไปตามและถ้าแล้วผลลัพธ์จากการตัดไม้อย่างน้อยหนึ่งแท่งเป็นชิ้นขนาดเท่ากัน ระยะที่สองจะกำหนด :$o$$L_{s-1} > o \ge L_s$$o > L_s$$o$$o$

สำหรับแต่ละแท่ง , , กำหนดขนาดของชุดตัวเลือกดังนี้: หากการตัดเป็นชิ้นขนาดจะเปลี่ยนแท่งให้เป็นชิ้น (รวมถึงอันที่สั้นกว่าถ้ามี) จากนั้นผู้สมัครสำหรับ ติดทุกคนค่าที่และ{s-1} (ดูที่คำตอบของ @ user1990169ว่าทำไมขนาดเหล่านี้จึงมีขนาดเท่านั้น)$i$$1\le i \le s$$L_s$$r_i$$\frac{L_i}j$$j\le r_i$$\frac{L_i}j<L_{s-1}$

รักษาผู้สมัครแต่ละขนาดเท่าไหร่มันเกิดขึ้น การใช้ต้นไม้ค้นหาสมดุลนี้สามารถทำได้ในเนื่องจากจำนวนเสียงทั้งหมดของผู้สมัครขนาดที่ถูกผูกไว้โดย2k$O(k\log k)$$\sum_i r_i \le 2k$

ตอนนี้ขนาดของผู้สมัครที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดและนำไปสู่การตัดที่ถูกต้องคือขนาดที่ให้ทางออกที่ดีที่สุดแก่เรา นอกจากนี้หากขนาดตัวเลือกใด ๆ นำไปสู่การตัดที่ถูกต้องขนาดที่เล็กกว่าจะนำไปสู่การตัดที่ถูกต้องเช่นกัน

ดังนั้นเราอีกครั้งสามารถใช้ค้นหา binary ที่จะหาผู้สมัครที่มีความยาวที่ใหญ่ที่สุดที่นำไปสู่การตัดที่ถูกต้องในk) จากนั้นเราก็ย้ำกว่าชุดของความยาวที่ผู้สมัครได้ถึงเกณฑ์นี้และหาหนึ่งที่มีความหลากหลายที่ใหญ่ที่สุดในหมู่พวกเขาในที่(k)$O(k\log k)$$O(k)$

โดยรวมแล้วเราได้รับ runtime ในหรือถ้าเราไม่สนใจ (หรือไม่ต้องทำ) การเรียงลำดับเริ่มต้น$O(n\log n)$$O(k\log k)$

หลังจากที่คุณสั่งให้แท่งเรียงลำดับตามความยาวของมันแล้วแท่งจะถูกตัดก็ต่อเมื่อไม้ทั้งหมดถูกตัดออก$L_i$$L_1, L_2, ... L_{i-1}$

ตั้งแต่ตอนนี้เราจะไม่ทำให้ตัดไม้ใด ๆเป็นต้นไปเนื่องจากเราสามารถมีแท่งที่มีความยาว{k}$k < n$$L_{k}$$k$$L_{k}$

ดังนั้นตอนนี้แทน , เราจะจัดการกับเพียงแท่ง (อาจจะเพิ่มติด -th รวม) และจำนวนสูงสุดของการปรับลดนั้นจะต้องถูกต้องในกรณีที่เลวร้ายที่สุดk-1$n$$k-1$$k$$= k-1$

นอกจากนี้หากจำนวนการตัดที่เหมาะสมคือจะต้องมีแท่งไม้อย่างน้อยหนึ่งชุดในหมู่แท่งที่จะถูกยึดโดยรวมจากแท่งไม้ดั้งเดิม 1 อัน$< k-1$$k-1$ (ทั้งในส่วนหรือใน 1 ชิ้น) กล่าวคือจะไม่มีส่วนใดของแท่งไม้ดั้งเดิมนั้นถูกปล่อยให้ 'ไม่ถูกจับ' นี่เป็นเพราะด้วยหลักการของหลุมนกพิราบจะต้องมีการตัดอย่างน้อย 1 ครั้งที่จะต้องสร้างไม้ที่ถูกต้องมากกว่า 1 อัน

จากนั้นคุณสามารถดำเนินการซ้อนกันสองครั้งสำหรับลูป (ทั้งคู่จนถึง ) วงรอบนอกจะแสดงจำนวนติดมีทุกส่วนจะต้องมีการดำเนินการและห่วงด้านในจะแสดงว่าจำนวนของชิ้นส่วนที่ทำจากติดว่า สำหรับแต่ละขนาดตรวจสอบว่าคุณสามารถรับไม้ที่เป็นไปได้โดยการตัดไม้เป็นต้นไปตามลำดับและหากทำได้ให้ปรับปรุงการตัดต่ำสุดที่จำเป็นหากจำนวนที่ต้องการในปัจจุบันน้อยกว่า$k$$i$$j$
$\frac{L_i}{j}$$L_1$

ความซับซ้อนโดยรวมของอัลกอริทึมด้านบนคือ$O(nlog(n) + k^3)$

แนวคิดระดับสูงจะเป็นการค้นหาแบบไบนารี

ขนาดของแท่งไม้ที่ขอแต่ละอันจะมีขนาดที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด ด้วยเหตุนี้เราจะดำเนินการโดยใช้การค้นหาแบบไบนารีกับขนาดของแท่งตรงกลางดูตัวเลขเราสามารถได้รับถ้าเป็นมากกว่าที่กำหนดแล้วเรารู้ว่าเราต้องเลือกขนาดอ้างอิงผู้สมัครใหม่ ดังนั้นเราจึงย้ายไปที่ใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าโดยใช้แท่งอ้างอิงใหม่ เราหยุดเมื่อน้อยกว่า$k'$$k'$$k$$k'$$k$

เมื่อเราพบแท่งอ้างอิงที่เหมาะสมแล้วก็มีมุมหนึ่งที่เราจะต้องปรับขนาดให้ใหญ่ขึ้น เราสามารถเรียงลำดับการตัดไม้ทั้งหมดตามจำนวนการตัดบนพวกเขาและขนาดของไม้ เลือกอันที่มีจำนวนการตัดน้อยที่สุดและขนาดที่น้อยที่สุด ลดจำนวนการตัดบนแท่งนี้ 1 และทำให้แท่งย่อยทั้งหมดของขนาดเท่ากัน นี่จะเป็นขนาดอ้างอิงใหม่ตรวจสอบเพื่อดูว่าขนาดใหม่นี้สามารถนำไปสู่การยอมรับหรือไม่ ฉันยอมรับฉันไม่ทราบวิธี จำกัด เวลาทำงานในกรณีนี้$k'$

หวังว่าฉันจะเห็นสิ่งที่มีประโยชน์จากคำตอบอื่น ๆ