ชุดอิสระสูงสุดของกราฟแบบสองทาง

ฉันพยายามหากราฟอิสระชุดสูงสุดของ Biparite

ฉันพบสิ่งต่อไปนี้ในบางบันทึกย่อ"13 พฤษภาคม 1998 - มหาวิทยาลัยวอชิงตัน - CSE 521 - การประยุกต์ใช้งานของเครือข่ายไหล" :

ปัญหา:

ได้รับการฝ่ายกราฟ$G = (U,V,E)$หาชุดอิสระ$U' \cup V'$ซึ่งเป็นขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ที่$U' \subseteq U$และ$V' \subseteq V$ V ชุดเป็นอิสระหากไม่มีขอบของ$E$ระหว่างองค์ประกอบของชุด

วิธีการแก้:

สร้างกราฟการไหลในจุด$U \cup V \cup \{s,t\}$ } สำหรับแต่ละขอบ$(u,v) \in E$มีขอบจุอนันต์จาก$u$จะ วี$v$สำหรับแต่ละ$u \in U$มีขอบหน่วยความจุจาก$s$ไป$u$และสำหรับแต่ละ$v \in V$มีขอบหน่วยความจุจาก$v$ไป ที$t$

ค้นหาความจุตัด จำกัด$(S,T)$กับ$s \in S$และ$t \in T$ T Let $U' = U \cap S$และ$V' = V \cap T$ T ชุด$U' \cup V'$เป็นอิสระเนื่องจากไม่มีขอบความจุไม่ จำกัด ตัดข้าม ขนาดของการตัดคือ$|U - U'| + |V - V'| = |U| + |V| - |U' \cup V'|$. เพื่อให้ชุดอิสระมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เราจะทำการตัดให้มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้

ดังนั้นลองใช้อันนี้เป็นกราฟ:

A - B - C
    |
D - E - F

เราสามารถแยกสิ่งนี้เป็นกราฟสองส่วนดังนี้ $(U,V)=(\{A,C,E\},\{B,D,F\})$

เราสามารถมองเห็นได้จากการค้นหาแรงเดรัจฉานว่า แต่เพียงผู้เดียวสูงสุดชุดอิสระ, C , D , F ให้ลองใช้วิธีแก้ปัญหาด้านบน:$A,C,D,F$

ดังนั้นเมทริกซ์ adjacency matrix ของโฟลว์ที่สร้างขึ้นจะเป็น:

$$\begin{matrix} & s & t & A & B & C & D & E & F \\ s & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ A & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B & 0 & 1 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 \\ C & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ E & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty \\ F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ \end{matrix}$$

นี่คือที่ที่ฉันติดอยู่ความสามารถ จำกัด ที่เล็กที่สุดที่ฉันเห็นคือสิ่งเล็กน้อย: $(S,T) =(\{s\},\{t,A,B,C,D,E,F\})$ด้วยความสามารถของ 3

การใช้การตัดนี้นำไปสู่การแก้ไขที่ไม่ถูกต้องของ:

$$U' = U \cap S = \{\}$$ $$V' = V \cap T = \{B,D,F\}$$ $$U' \cup V' = \{B,D,F\}$$

ในขณะที่เราคาดว่า$U' \cup V' = \{A,C,D,F\}$ ? ทุกคนสามารถมองเห็นจุดที่ฉันผิดไปในการให้เหตุผล / การทำงานของฉันได้หรือไม่?

ความสมบูรณ์ของชุดอิสระสูงสุดคือการครอบคลุมจุดสุดยอดขั้นต่ำ

เพื่อหาปกขั้นต่ำจุดสุดยอดในฝ่ายกราฟดูทฤษฎีบทของKönig

วิธีแก้ปัญหาที่ระบุนั้นไม่ถูกต้องอย่างชัดเจนเมื่อคุณสาธิตด้วยตัวอย่าง โปรดทราบว่ากราฟ U + V เป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อโดยขอบความจุไม่ จำกัด ดังนั้นการตัดที่ถูกต้องทุกครั้งจะต้องมีทั้งหมดของ A, B, C, D, E, F ในด้านเดียวกัน

พยายามติดตามย้อนกลับว่าโซลูชันมาจากที่ใด: http://www.cs.washington.edu/education/courses/cse521/01sp/flownotes.pdf อ้างอิง Network Flows โดย Ahuja, Magnanti และ Orlin สำหรับปัญหาบางอย่าง หนังสือเล่มนี้ไม่มีลิขสิทธิ์และสามารถดาวน์โหลดได้จากhttp://archive.org/details/networkflows00ahujแต่ดูเหมือนจะไม่มีปัญหาและวิธีแก้ไขนี้ (ค้นหา "bipartite" ที่เกิดขึ้นทุกครั้ง)

โปรดทราบว่าย่อหน้าคำอธิบายของการแก้ปัญหาไม่ได้แสดงให้เห็นว่าการตัดกราฟที่เล็กที่สุดที่มันสร้างนั้นสอดคล้องกับชุดอิสระสูงสุด มันแสดงให้เห็นถึงวิธีการที่จะได้รับชุดอิสระ

และถึงกระนั้นคุณสามารถเห็นว่าอัลกอริทึมพยายามทำอะไร นี่คือสิ่งที่ชุดอิสระอิสระสูงสุดที่แท้จริงสอดคล้องกับในแง่ของ s, t cut:

ขอบความจุที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งแบ่งอัลกอริทึมนั้นจะเน้น

ฉันไม่แน่ใจว่าจะแก้ไขอัลกอริทึมให้ตรงกับที่ตั้งใจไว้ได้อย่างไร บางทีค่าขอบไม่มีที่สิ้นสุดควรเป็นศูนย์ถ้ามันไปทางด้านหลัง (เช่นที่มันไปจาก S ถึง T แต่ตัดจาก t-side ไป s-side)? แต่มันยังง่ายที่จะหา min-cut / max-flow ด้วย nonlinearity นี้หรือไม่? นอกจากนี้การคิดถึงวิธีการเชื่อมจาก @Jukka Suomela ไปยังอัลกอริธึมจากคำถามมีความยากลำบากที่เราจะไปจากการจับคู่สูงสุดไปยังจุดสุดยอดขั้นต่ำ: ในขณะที่การค้นหาการจับคู่สูงสุดสามารถทำได้โดย max-flow อัลกอริธึมที่เหมือนกันคุณจะกู้คืนจุดสุดยอดขั้นต่ำได้อย่างไรโดยใช้อัลกอริทึมแบบโฟลว์ ตามที่อธิบายไว้ที่นี่หลังจากพบการจับคู่สูงสุดขอบระหว่าง U และ V จะกำกับเพื่อค้นหาจุดสุดยอดขั้นต่ำ ดังนั้นอีกครั้งสิ่งนี้ไม่ได้แสดงว่าแอปพลิเคชันแบบง่ายของ min-cut / max-flow นั้นใช้เพื่อแก้ไขปัญหานี้

$S$$T$$S$

การตัดควรอยู่ที่การไหลที่แท้จริงไม่ใช่กำลังการผลิต เนื่องจากการไหลจาก s เป็นจำนวน จำกัด การตัด {S, T} ใด ๆ จะถูก จำกัด ส่วนที่เหลือเป็นคำอธิบายข้างต้น

$U$$V$

$G'$$\{A,C,D,F\}$