มีอัลกอริทึมที่สามารถพิสูจน์ได้แม้ว่าเราจะไม่รู้ว่ามันคืออะไร?

ในคณิตศาสตร์มีหลักฐานการดำรงอยู่มากมายที่ไม่สร้างสรรค์ดังนั้นเราจึงรู้ว่ามีวัตถุบางอย่างอยู่แม้ว่าเราจะไม่รู้วิธีการค้นหามัน

ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ที่คล้ายกันในวิทยาการคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: มีปัญหาที่เราสามารถพิสูจน์ได้หรือไม่โดยไม่ต้องแสดงอัลกอริทึมสำหรับมัน? คือเรารู้ว่ามันสามารถแก้ไขได้โดยอัลกอริทึม แต่เราไม่รู้ว่าอัลกอริทึมนั้นเป็นอย่างไร

กรณีที่ง่ายที่สุดที่ฉันรู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมที่มีอยู่แม้ว่าจะไม่ทราบว่าอัลกอริทึมใดเกี่ยวข้องกับสถานะออโตมาตา จำกัด

เชาวน์ของภาษาโดยภาษาถูกกำหนดให้เป็น\}L 1 L 2 L 1 / L 2 = { x ∣ ∃ y ∈ L 2 แบบ  นั้นที่  x y ∈ L 1$L_1/L_2$$L_1$$L_2$$L_1/L_2=\{x \mid \exists y\in L_2 \text{ such that } xy\in L_1\}$

มันพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่าเซตปกติจะปิดภายใต้ความฉลาดทางโดยชุดโดยพลการ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าเป็นปกติและนั้นเป็นกฎเกณฑ์ (ไม่จำเป็นต้องเป็นปกติ) ดังนั้นก็ปกติเช่นกันL 2 L 1 / L $L_1$$L_2$$L_1/L_2$

หลักฐานค่อนข้างง่าย ให้เป็น FSA ที่ยอมรับชุดปกติโดยที่และเป็นลำดับชุดของสถานะและชุดของสถานะการยอมรับและปล่อยให้เป็นภาษาโดยพลการ ปล่อยเป็นชุดของรัฐที่รัฐสุดท้ายสามารถเข้าถึงได้โดยการยอมรับ สตริงจากLR Q F L F ′ = { q ∈ Q ∣ ∃ y ∈ $M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$$R$$Q$$F$$L$$F'=\{q\in Q\mid \exists y\in L \;\;\delta(q,y)\in F\}$$L$

ออโตซึ่งแตกต่างจาก เฉพาะในชุดของของรัฐสุดท้ายตระหนักถึงความแม่นยำ L (หรือดู Hopcroft-Ullman 1979 หน้า 62 เพื่อพิสูจน์ความจริงข้อนี้)M F ′ R /$M'=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F')$$M$$F'$$R/L$

แต่เมื่อชุดไม่ decidable อาจจะมีขั้นตอนวิธีการที่จะตัดสินใจว่ารัฐมีคุณสมบัติที่กำหนดไม่มีF'ดังนั้นในขณะที่เรารู้ว่าเซตเป็นเซตย่อยของเราไม่มีอัลกอริทึมในการกำหนดเซตย่อยใด ดังนั้นในขณะที่เรารู้ว่าได้รับการยอมรับจากหนึ่งใน FSA ที่เป็นไปได้ แต่เราไม่ทราบว่ามันคืออะไร แม้ว่าฉันจะต้องสารภาพเรารู้ว่ามันดูเหมือนอะไรF ′ F ′ Q R 2 | Q $L$$F'$$F'$$Q$$R$$2^{|Q|}$

นี่คือตัวอย่างของสิ่งที่บางครั้งเรียกว่า ข้อพิสูจน์ที่เกือบจะสร้างสรรค์ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ว่าหนึ่งในจำนวนคำตอบที่ จำกัด นั้นเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

ฉันคิดว่าส่วนขยายของสิ่งนั้นอาจเป็นข้อพิสูจน์ได้ว่าหนึ่งในชุดคำตอบที่นับได้นั้นเป็นคำตอบที่ถูกต้อง แต่ฉันไม่รู้อะไรเลย ฉันไม่รู้จักหลักฐานที่ไม่สร้างสรรค์อย่างแท้จริงว่าปัญหาบางอย่างสามารถแก้ไขได้เช่นใช้ความขัดแย้งเท่านั้น

หากต้องการขยายความคิดเห็นดั้งเดิมของเฮนดริคให้พิจารณาปัญหานี้

$n\ge 0$$n$$\pi$

ปัญหานี้สามารถตัดสินใจได้เนื่องจากหนึ่งในสองกรณีอาจได้รับ:

1. $N$$\pi$$N$
2. $n$$\pi$$n$

ในกรณี (1) อัลกอริทึมการตัดสินใจสำหรับปัญหาจะเป็นหนึ่งใน

$n > N$

และในกรณี (2) อัลกอริทึมจะเป็น

ตอบว่า "ใช่"

ชัดเจนว่าสิ่งเหล่านี้คืออัลกอริธึมการตัดสินใจ เราแค่ไม่รู้ว่าตัวไหน ที่พอเพียง แต่เนื่องจาก decidability เท่านั้นต้องมีการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมที่ไม่สเปคของซึ่งขั้นตอนวิธีการใช้งาน

นี่คือคำตอบที่ไม่เป็น ฉันโพสต์เพราะฉันเชื่อว่ามันให้คำแนะนำเพราะเดิมฉันอ้างว่าตรงกันข้ามและแปดคนเห็นด้วยมากพอที่จะ upvote ก่อน @sdcwc ชี้ให้เห็นข้อผิดพลาด ฉันไม่ต้องการเพียงแค่แก้ไขคำตอบแรกของฉันเพราะฉันไม่แน่ใจว่ามีคนจำนวนมากที่จะอัปเดตถ้าพวกเขารู้ว่ามันผิด

$S$$S$

$H$$H$