ผู้ประสานงาน Y ขัดแย้งกับจดหมายโต้ตอบ Curry-Howard หรือไม่?

อ Y Combinator มีชนิดโดย Curry-Howard Correspondence เพราะประเภทเป็นที่อยู่อาศัยมันจะต้องสอดคล้องกับทฤษฎีบทที่แท้จริง อย่างไรก็ตามเป็นจริงเสมอดังนั้นมันจึงดูเหมือนว่าชนิดของ combinator Y นั้นสอดคล้องกับทฤษฎีบทซึ่งไม่จริงเสมอไป สิ่งนี้จะเป็นอย่างไร( → ) → $(a \rightarrow a) \rightarrow a$$(a \rightarrow a) \rightarrow a$$a \rightarrow a$$a$

การติดต่อกันของ Curry-Howard ดั้งเดิมนั้นเป็นความผิดปกติระหว่างตรรกะเชิงแคลคูลัสเชิงประพจน์และแคลคูลัสแลมบ์ดาเพียงพิมพ์

มีแน่นอน isomorphisms เหมือน Curry-Howard อื่น ๆ ; Phil Wadler มีชื่อเสียงชี้ให้เห็นว่าชื่อ "Curry-Howard" ที่มีลำกล้องสองครั้งคาดการณ์ชื่ออื่น ๆ เช่น "Hindley-Milner" และ "Girard-Reynolds" มันคงจะตลกถ้า "Martin-Löf" เป็นหนึ่งในนั้น แต่ไม่ใช่ แต่ฉันเชือนแช

Y combinator ไม่ได้ขัดแย้งกับสิ่งนี้ด้วยเหตุผลสำคัญอย่างหนึ่ง: มันไม่สามารถแสดงออกได้ในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้ง่าย

ในความเป็นจริงนั่นคือประเด็นทั้งหมด Haskell Curry ค้นพบ fixpoint combinator ในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่มีการพิมพ์และใช้เพื่อพิสูจน์ว่าแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์นั้นไม่ใช่ระบบการลดเสียง

สิ่งที่น่าสนใจประเภทของ Y สอดคล้องกับตรรกะที่ขัดแย้งกันซึ่งไม่เป็นที่รู้จักอย่างที่ควรจะเรียกว่า Curry's Paradox พิจารณาประโยคนี้:

ถ้าประโยคนี้เป็นจริงแล้วซานตาคลอสอยู่

สมมติว่าประโยคนั้นเป็นจริง เห็นได้ชัดว่าซานตาคลอสจะมีอยู่จริง แต่นี่เป็นสิ่งที่ประโยคพูดอย่างแม่นยำดังนั้นประโยคนั้นจึงเป็นจริง ดังนั้นซานตาคลอสอยู่ QED

Curry-Howard เกี่ยวข้องกับระบบการพิมพ์กับระบบการหักลอจิคัล เหนือสิ่งอื่นใดมันเป็นแผนที่:

• โปรแกรมเพื่อพิสูจน์
• การประเมินผลโปรแกรมเพื่อการเปลี่ยนแปลงการพิสูจน์
• ประเภทที่อยู่อาศัยเพื่อข้อเสนอที่แท้จริง
• พิมพ์ระบบไปยังระบบการหักลอจิคัล

$a \to b$$a$$b$$Y (\lambda x. x) \to Y (\lambda x.M)$

การติดต่อสื่อสารของแกงกะหรี่ - ฮาวเวิร์ดเป็นเพียงแค่: การติดต่อ ในตัวมันเองมันไม่ได้บอกว่าทฤษฎีบทบางอย่างเป็นจริง มันบอกว่าการพิมพ์ / พิสูจน์ได้ดำเนินการจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง

การติดต่อ Curry-Howard มีประโยชน์ในฐานะเครื่องมือพิสูจน์ด้วยระบบหลายประเภท: เพียงพิมพ์แลมบ์แคลคูลัส, ระบบ F, แคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้าง, ฯลฯ ระบบประเภทเหล่านี้ทั้งหมดมีคุณสมบัติที่ตรรกะที่สอดคล้องกันสอดคล้องกัน ) พวกเขายังมีคุณสมบัติที่ไม่อนุญาตให้เรียกซ้ำโดยพลการ การโต้ตอบของ Curry-Howard แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติทั้งสองนี้เกี่ยวข้องกัน

Curry-Howard ยังคงใช้งานกับระบบนิรนัยที่พิมพ์ไม่ได้และระบบการหักที่ไม่สอดคล้องกัน มันไม่มีประโยชน์อย่างยิ่ง