ความซับซ้อนของเวลาของการวนซ้ำสามชั้น

13

โปรดพิจารณาการวนซ้ำสามชั้นต่อไปนี้:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

คำสั่งที่นี่จะถูกดำเนินการอย่างแน่นอน $n(n+1)(n+2)\over6$ ครั้ง ใครช่วยอธิบายหน่อยได้ไหมว่าสูตรนี้ได้มาอย่างไร ขอขอบคุณ.

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— ซิน
แหล่งที่มา

1

คำถามสูตรความซับซ้อนเวลาของลูปซ้อนกันอาจเป็นที่สนใจ

— Juho

14

คุณสามารถนับจำนวนครั้งที่วงในสุดสำหรับลูปถูกเรียกใช้งานโดยการนับจำนวนทริปเปิล $(i,j,k)$ ที่ถูกเรียกใช้งาน

$1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

$n+2$
$n+2$
- $i$
- $j$
- $k$

$n+2$ $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
แหล่งที่มา

2

คำตอบที่ดี! ค่าที่แน่นอนของ i, j, k ไม่สำคัญ เราจำเป็นต้องรู้ว่ากล่องสีฟ้าใด ๆ สามารถวางในตำแหน่งที่เป็นไปได้ n และตำแหน่งนั้นถูก จำกัด ขอบเขต: อันดับที่ 2 จะมาหลังวันที่ 1 และก่อนหน้านั้นเสมอ

— Dávid Natingga

@rizwanhudda ล้างยกเว้นมีส่วนร่วมใน 2 คุณช่วยอธิบายได้มั้ย ดูเหมือนว่าหมายเลขที่ถูกต้อง

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— saadtaame

1

@saadtaame ใช่ คุณสามารถจินตนาการได้ว่ามีกล่องสีแดงแต่มีอิสระที่จะเลือกกล่องสีแดง 3 กล่องเพื่อทาสีสีน้ำเงินจาก "กล่องสีแดง" เนื่องจากคุณไม่สามารถระบายสีกล่องแรกเป็นสีน้ำเงินได้ (ตั้งแต่ )

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

3

สำหรับฉันมันง่ายกว่าที่จะสังเกตว่าการวนรอบภายในจะถูกดำเนินการครั้งและจำนวนการประหารชีวิตทั้งหมดในลูปภายในคือ $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

สิ่งนี้สามารถเขียนใหม่เป็นและถูกดำเนินการครั้งดังนั้นจำนวนการดำเนินการทั้งหมดคือ $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— แอนดี้ mcevoy
แหล่งที่มา

ความท้าทายสำหรับคุณ: จินตนาการว่าคุณมีห่วงซ้อน x ตามคำตอบก่อนหน้านี้มันจะดำเนินการ (n + x-1) เลือก x ครั้ง คุณจะคำนวณสูตรอย่างไร

— Dávid Natingga

โชคดีที่ OP ไม่ขอ x-ซ้อนกัน! คำตอบอื่น ๆ ที่ให้ไว้จะขยายไปยังลูป x-nested อย่างไร คำตอบของฉันควรได้รับผลรวมมากขึ้นตั้งแต่ 0 ถึง n, 0 ถึง n-i_1, 0 ถึง n-i_2, ... , 0 ถึง n-i_x แต่ฉันไม่รู้วิธีคำนวณ

— andy mcevoy

1

คำตอบไม่ได้ขยายอย่างชัดเจนสำหรับ x ทั่วไป แต่กระบวนการให้เหตุผลที่นำเสนอนั้นง่ายต่อการติดตามลูปที่ซ้อนกัน คุณเพียงแค่เพิ่มกล่องสีน้ำเงิน ฉันไม่รู้ว่าฉันจะคำนวณจำนวนเงินเหล่านั้นได้อย่างไร

— Dávid Natingga