การคูณใน

10

ฉันกำลังดูที่นี่และฉันสังเกตเห็นว่า runtime ที่ดีที่สุดสำหรับการคูณจำนวนสองบิตคือแต่ฉันสามารถสังเกตเห็นอัลกอริธึมที่ทำงานในได้อย่างง่ายดาย ) $n$ $O(n\cdot \log n \cdot 2^{O(\log^* n)}$ $O(n\cdot \log n)$

ท้ายที่สุดเรารู้วิธีคูณสองชื่อพหุนามจากดีกรีในรันไทม์แต่พหุนามการคูณจะเหมือนกับการคูณสองจำนวนบิต ดังนั้นเราจึงมีขั้นตอนวิธีการที่จะคูณสอง -bits ตัวเลขใน )ตอนนี้ปัญหาเดียวที่อาจเกิดขึ้นได้คือการบรรทุก แต่ในแต่ละขั้นตอนเราสามารถแก้ไขได้ในเวลาเพียงแค่เคลื่อนที่ไปทางขวาสุดและเพื่อนบ้านซ้ายจนกระทั่งจบ นั่นคือรันไทม์ของเราจะยังคงอยู่ $n$ $O(n \log n)$ $n$ $n$ $O(n \log n )$ $O(n)$ . $O(n \cdot \log n)$

ดังนั้นฉันจึงทำการค้นพบใหม่ (และชัดเจน) หรือหน้าวิกิพีเดียล้าสมัย? หรือบางทีฉันมีข้อผิดพลาดบางอย่าง?

runtime-analysis

— TheEmeritus
แหล่งที่มา

อะไรคือวิธีที่ "เรารู้" "เพื่อคูณสองชื่อพหุนามจากดีกรี

ในรันไทม์

"?

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

$\hspace{.46 in}$

8

@DavidRicherby ชี้ให้เห็นแล้วความสับสนเกิดขึ้นเนื่องจากการวัดความซับซ้อนที่แตกต่างกันเริ่มสับสน แต่ขอผมอธิบายหน่อย

โดยปกติเมื่อศึกษาอัลกอริธึมสำหรับการคูณพหุนามมากกว่าแหวนโดยพลการหนึ่งจะสนใจจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในวงแหวนที่อัลกอริทึมใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อได้รับ (commutative, unitary) ring และ polynomials ระดับน้อยกว่า , Schönhage-Strassen algorithm ต้องการและการเพิ่มเติมในเพื่อคำนวณ $R$ $f,g \in R[X]$ $n$ $O(n \log{n} \log{\log{n}})$ $R$ $fg \in R[X]$ โดยประมาณติดรากดั้งเดิม -th ของความสามัคคีในการจะได้รับบางแหวนขนาดใหญ่แล้วโดยใช้จานแปลงฟูเรียกว่าคำนวณผลิตภัณฑ์ในD $n$ $R$ $D \supset R$ $D$ $D$

ถ้าแหวนของคุณมีราก -th ของความสามัคคีแล้วนี้สามารถเร่งความเร็วได้ถึงการดำเนินงานในโดยใช้จานฟูริเยร์แปลงโดยตรงผ่านRโดยเฉพาะอย่างยิ่งในคุณสามารถทำได้โดยใช้การดำเนินงานเสียงเรียก (โดยไม่สนใจข้อเท็จจริงที่ว่านี่จะต้องใช้เลขคณิตที่แน่นอนมากกว่าจำนวนเชิงซ้อน) $n$ $O(n \log n)$ $R$ $R$ $\mathbb{Z} \subset \mathbb{C}$ $O(n \log n)$

มาตรการอื่นที่สามารถนำมาพิจารณาได้ก็คือความซับซ้อนของการดำเนินการ และนี่คือสิ่งที่เรากำลังสนใจในเมื่อคูณจำนวนเต็มสองจำนวนของความยาวบิตnที่นี่การดำเนินงานดั้งเดิมจะคูณและเพิ่มสองหลัก (พร้อมส่ง) ดังนั้นเมื่อคูณสองชื่อพหุนามมากกว่าคุณต้องคำนึงถึงความจริงที่ว่าตัวเลขที่เกิดขึ้นระหว่างการคำนวณไม่สามารถคูณด้วยการดำเนินการดั้งเดิม นี่และความจริงที่ว่าไม่มีรูตดั้งเดิมของความสามัคคี -th สำหรับทำให้คุณไม่สามารถใช้ $n$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $n$ $n > 2$ $O(n \log n)$ ขั้นตอนวิธี คุณเอาชนะสิ่งนี้ได้โดยพิจารณาด้วยค่าสัมประสิทธิ์จากวงแหวนเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามผลิตภัณฑ์จะไม่เกินขอบเขตนี้ มี (เมื่อคุณมี (ชั้นความสอดคล้องกันของ) อำนาจของทั้งสองเป็น) เป็นราก -th ของความสามัคคีและด้วยซ้ำเรียกอัลกอริทึมสำหรับการคูณค่าสัมประสิทธิ์คุณสามารถบรรลุรวมดั้งเดิมเช่นบิต) การดำเนินงาน ( จากนั้นจะนำไปสู่การคูณจำนวนเต็ม $f,g$ $\mathbb{Z}/\langle 2^n + 1 \rangle$ $n$ $2$ $n$ $O(n \log n \log \log n)$

$f = \sum_{i=0}^n f_i X^i$ $x \in \mathbb{Z}$

f (x) = (\dots (f_{n} x + f_{n - 1}) x + \dots + \dots) + f_{0}

$f(x) = (\ldots (f_n x + f_{n-1})x + \ldots + \ldots) + f_0$

f

$f$

H = \sum_{i = 1}^{n / 2} f_{n / 2 + i} X^{i}

$H = \sum_{i=1}^{n/2} f_{n/2+i} X^i$

L = \sum_{i = 0}^{n / 2} f_{i} X^{i}

$L = \sum_{i=0}^{n/2} f_{i} X^i$

H

$H$

> n / 2

$>n/2$

L

$L$

\leq n / 2

$\leq n/2$

n

$n$ เป็นพลังของสองเพื่อความง่าย)

$f(x)$

f (x) = H (x) x^{n / 2} + L (x)

$f(x) = H(x)x^{n/2} + L(x)$

$n$ $n + \log n$

$n/2$ $n/2$ $\Omega(n^2)$ $n$ $O(n)$ $O(n \log^c n) = \tilde{O}(n)$ $c > 0$

— แบรนด์คอร์นีเลียส
แหล่งที่มา

9

$n$ $O(n\log n)$ $n$ $O(2^{\log^*n}n\log n)$ $n$ $O(n\log n)$

— David Richerby
แหล่งที่มา

5

ฉันไม่คิดว่านี่เป็นปัญหา ถ้าเราคิดว่าตัวเลขเป็นพหุนามซึ่งมี "x" เป็นฐานเช่น 2 โดยทั่วไปเราสามารถคูณจำนวนพหุนามศูนย์องศา (ตัวเลขที่เล็กกว่าฐาน) ในเวลาคงที่ ฉันเดาว่าปัญหาคืออัลกอริทึม O (n * log n) ใช้ FFT และตัวเลขที่มีขนาดใหญ่กว่านั้นอาจปรากฏในอัลกอริทึม FFT

— jkff