ต้นไม้สีแดงดำทุกต้นไม่สมดุลหรือไม่

โดยสัญชาตญาณ "ต้นไม้ที่สมดุล" ควรเป็นต้นไม้ที่ต้นไม้ย่อยด้านซ้ายและขวาในแต่ละโหนดจะต้องมีจำนวนโหนดโดยประมาณเท่ากัน

แน่นอนเมื่อเราพูดถึงต้นไม้สีแดงดำ * (ดูคำจำกัดความที่ท้าย) การมีความสมดุลจริง ๆ แล้วเราหมายถึงว่าพวกเขามีความสูงที่สมดุลและในแง่นั้นพวกเขามีความสมดุล

สมมติว่าเราพยายามทำสัญชาตญาณข้างต้นเป็นระเบียบดังนี้:

คำนิยาม:ต้นไม้ไบนารีเรียกว่า -balance, โดยมี , สำหรับทุกโหนด , ความไม่เท่าเทียมกัน $\mu$ $0 \le \mu \leq \frac{1}{2}$ $N$

$μ \leq \frac{| N_{L} | + 1}{| N | + 1} \leq 1 - μ$ $\mu \le \frac{|N_L| + 1}{|N| + 1} \le 1 - \mu$
เก็บและสำหรับทุก ๆมีบางโหนดที่คำสั่งข้างต้นล้มเหลว คือจำนวนโหนดในทรีย่อยด้านซ้ายของและคือจำนวนโหนดใต้ต้นไม้ที่มีเป็นรูท (รวมถึงรูท) $\mu' \gt \mu$ $|N_L|$ $N$ $|N|$ $N$

ฉันเชื่อว่าสิ่งเหล่านี้เรียกว่าต้นไม้ที่มีน้ำหนักสมดุลในวรรณกรรมบางเล่มในหัวข้อนี้

ใคร ๆ ก็สามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าต้นไม้ไบนารีกับ nodes คือ -balanced (สำหรับค่าคงที่ ) ดังนั้นความสูงของต้นไม้คือดังนั้นจึงคงการค้นหาที่ดี คุณสมบัติ. $n$ $\mu$ $\mu \gt 0$ $\mathcal{O}(\log n)$

ดังนั้นคำถามคือ:

มีบ้างไหมที่ต้นไม้สีแดงดำใหญ่พอที่จะ mu- สมดุล $\mu \gt 0$ $\mu$

ความหมายของต้นไม้สีแดงดำที่เราใช้ (จากบทนำสู่อัลกอริทึมโดย Cormen et al):

แผนผังการค้นหาแบบไบนารีที่แต่ละโหนดมีสีเป็นสีแดงหรือสีดำและ

รากมีสีดำ
โหนด NULL ทั้งหมดเป็นสีดำ
หากโหนดเป็นสีแดงแสดงว่าโหนดลูกทั้งสองเป็นสีดำ
สำหรับแต่ละโหนดเส้นทางทั้งหมดจากโหนดนั้นไปยังโหนด NULL ที่สืบทอดมามีโหนดสีดำจำนวนเดียวกัน

หมายเหตุ: เราจะไม่นับโหนด NULL ในคำจำกัดความของ -balance ด้านบน (แม้ว่าฉันเชื่อว่ามันไม่สำคัญว่าเราจะทำ) $\mu$

data-structures binary-trees search-trees

— Aryabhata
แหล่งที่มา

@Aryabhata: มีอะไรพิเศษ ( ) ในการแก้ไขของคุณ? ฉันสบายดีกับความจริงที่ว่าสมดุลหมายถึงสมดุล ผมไม่คิดว่าคุณควรจะมีเพื่อหาสิ่งที่แน่นอนที่จะพิสูจน์ความสูงเป็นlog) ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า?

μ^{'} > μ

$\mu'>\mu$

\frac{1}{3}

$\frac13$

\frac{1}{4}

$\frac14$

μ

$\mu$

O (\log n)

$O(\log n)$

— jmad

นอกจากนี้คุณจำเป็นต้องมีคำสั่งเชิงลบเพื่อให้ห่วงโซ่ counterexample กับต้นไม้ต้นหนึ่งสำหรับทุก{N} ห่วงโซ่ไม่ จำกัด ใด ๆ ที่ไม่ลดขนาดโหนดจะเพียงพอใช่ไหม

n \in N

$n \in \mathbb{N}$

— กราฟิลส์

@jmad: หากไม่มีการแก้ไขต้นไม้ทุกต้นจะมีความสมดุลเล็กน้อยดังนั้นเราจึงไม่มีคำตอบสำหรับคำถามเล็กน้อย ฉันต้องการหลีกเลี่ยงสิ่งนั้น

μ^{'}

$\mu'$

0

$0$

— Aryabhata

@ ราฟาเอล: ฉันไม่เข้าใจ ขนาดโหนดของต้นไม้nคุณกำลังบอกว่ามันไม่สำคัญว่าต้นไม้ใดที่เราเลือกให้และ ? ดูเหมือนจะไม่ชัดเจนสำหรับฉันและนั่นคือสิ่งที่เป็นคำถามเกี่ยวกับ!

n^{t h}

$n^{th}$

n

$n$

R B_{n}

$RB_n$

μ_{n} \to 0

$\mu_n \to 0$

— Aryabhata

รุ่นก่อนหน้าของคำถามนี้อ้างว่ารันไทม์ของอัลกอริทึม recursive บนต้นไม้สีแดงสีดำจำนวนที่ไม่เชิงเส้นของการทำงานในแต่ละขั้นตอนที่ไม่จำเป็นต้องn) การอ้างสิทธิ์นี้ไม่ถูกต้อง ความสูงสมดุลหมายความว่าระดับความลึกนั้น -node สีแดงสีดำต้นไม้เป็นn) ดังนั้นหากคุณดำเนินการการทำงานในแต่ละระดับของต้นไม้การทำงานรวมเป็นn)

O (n \log n)

$O(n\log n)$

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— JeffE

คำตอบ:

เรียกร้อง : ต้นไม้สีแดงสีดำสามารถยกเลิกพล -balanced $\mu$

Proof Idea : เติมทรีย่อยที่ถูกต้องให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และด้านซ้ายมีจำนวนน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับหมายเลขของโหนดสีดำในทุก ๆ รูท - ลีฟ $k$

พิสูจน์ : กำหนดลำดับของต้นไม้สีแดงดำเพื่อให้มีโหนดดำในทุกเส้นทางจากรากไปยังใบไม้ใด ๆ (เสมือน) กำหนดด้วย $T_k$ $T_k$ $k$ $T_k = B(L_k, R_k)$

$R_k$ ต้นไม้ที่สมบูรณ์ของความสูงกับต้นที่หนึ่ง, สาม, ... ระดับสีแดง, อื่น ๆ สีดำและ $2k - 1$
$L_k$ ต้นไม้ที่สมบูรณ์ของความสูงพร้อมโหนดทั้งหมดที่มีสีดำ $k-1$

เห็นได้ชัดว่าทั้งหมดเป็นต้นไม้สีแดงดำ $T_k$

ตัวอย่างเช่น ,และตามลำดับ: $T_1$ $T_2$ $T_3$

T_1
^{[ แหล่งที่มา ]}

T_2
^{[ แหล่งที่มา ]}

T_3
^{[ แหล่งที่มา ]}

ตอนนี้ให้เราตรวจสอบความประทับใจทางภาพของด้านขวาที่มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับด้านซ้าย ฉันจะไม่นับใบเสมือน พวกเขาไม่ส่งผลกระทบต่อผล

ทรีย่อยด้านซ้ายของเสร็จสมบูรณ์และมักจะมีความสูงและมีโหนดทรีย่อยที่ถูกต้องนั้นสมบูรณ์และมีความสูงและประกอบด้วยโหนดตอนนี้ค่าสมดุลสำหรับรูตคือ $T_k$ $k-1$ $2^k - 1$ $2k - 1$ $2^{2k}-1$ $\mu$

$\qquad \displaystyle \frac{2^k}{2^k + 2^{2k}} = \frac{1}{1 + 2^k} \underset{k\to\infty}{\to} 0$

ซึ่งพิสูจน์ว่าไม่มีตามที่ร้องขอ $\mu > 0$

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

เลขที่ พิจารณาต้นไม้สีแดงดำที่มีโครงสร้างพิเศษดังต่อไปนี้

ทรีย่อยทางซ้ายเป็นต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์ที่มีความลึกซึ่งทุกโหนดมีสีดำ $d$
ทรีย่อยที่เหมาะสมคือต้นไม้ไบนารีที่สมบูรณ์ที่มีความลึกซึ่งทุกโหนดที่ความลึกคี่เป็นสีแดงและทุกโหนดที่ความลึกเท่ากันจะเป็นสีดำ $2d$

มันตรงไปตรงมาเพื่อตรวจสอบว่านี่เป็นต้นไม้สีแดงดำที่ถูกต้อง แต่จำนวนโหนดในทรีย่อยด้านขวา ( ) นั้นคือสแควร์ของจำนวนโหนดในทรีย่อยทางซ้าย ( ) $2^{2d+1}-1$ $2^{d+1}-1$

— JeffE
แหล่งที่มา

+1: ขอบคุณ! แต่จำนวนของโหนดเป็นของจาก1 เราสามารถบางที 'แผ่น' เหล่านี้เพียงพอที่จะได้รับต้นไม้ขนาดที่กำหนด ? (ดูเหมือนว่าควรจะทำได้)

2^{2 d + 1} + 2^{d + 1} - 1

$2^{2d+1} + 2^{d+1} - 1$

n

$n$

— Aryabhata

คุณมีตัวอย่างตัวอย่างสำหรับจำนวนไม่ จำกัดดังนั้นทำไมต้องกังวล แต่ฉันคิดว่าถ้าคุณต้องการคุณสามารถเพิ่มโหนดสีแดงเพิ่มเติมลงในทรีย่อยด้านซ้ายหรือนำโหนดสีแดงออกมาจากทรีย่อยด้านขวา

n

$n$

— JeffE

@JeffE: โดยทั่วไปโซ่ counterexample จะเป็นชุดย่อย 'หนาแน่น' แทนที่จะเป็นชุดย่อย 'กระจัดกระจาย' บางทีฉันอาจจะเปลี่ยนการตั้งคำถาม

— Aryabhata