ตัวแปรที่แตกต่างสำหรับส่วนคำสั่งต่างๆ

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทการแก้ปัญหามันมักจะสันนิษฐานตัวแปรในข้อที่แตกต่างกันมีความแตกต่าง นี่ไม่ใช่สิ่งที่เกิดขึ้นโดยอัตโนมัติ มันต้องมีรหัสพิเศษที่สำคัญและการคำนวณที่จะใช้ ระบุว่าฉันกำลังมองหากรณีทดสอบสำหรับมัน

ปัญหาคือในทุกกรณีการทดสอบที่ฉันได้ลองมามันไม่ได้สร้างความแตกต่าง สันนิษฐานว่ามันสำคัญเฉพาะในกรณีขอบที่ผิดปกติ ดังที่Wikipediaกล่าวไว้ว่า "ตัวแปรในส่วนคำสั่งที่ต่างกันมีความชัดเจน ... ตอนนี้การรวม Q (X) ในข้อแรกกับ Q (Y) ในข้อที่สองหมายความว่า X และ Y กลายเป็นตัวแปรเดียวกันอยู่แล้ว"

มีกรณีทดสอบที่รู้จักกันซึ่งจริง ๆ แล้วจะให้คำตอบที่ไม่ถูกต้องถ้าส่วนต่าง ๆ ใช้ตัวแปรเดียวกันหรือไม่

logic automated-theorem-proving

— rwallace
แหล่งที่มา

แก้ไข:ฉันพบตัวอย่างที่ดีกว่า พิจารณาอนุประโยคเหล่านี้: เห็นได้ชัดว่าชุดคำสั่งนี้ขัดแย้งกัน แต่หากไม่มีการเปลี่ยนชื่อตัวแปรตัวแก้ไขที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือและไม่สามารถใช้ตัวแก้ไขเพิ่มเติมได้อีกทั้งหมดนำไปสู่การแทนที่สำหรับซึ่งเป็นไปไม่ได้

\begin{aligned} \neg P (x) \lor P (f (x)) \\ P (x) \\ \neg P (f (f (x))) \end{aligned}

$\begin{align} & \lnot P(x) \lor P(f(x)) \\ & P(x) \\ & \lnot P(f(f(x)))\\ \end{align}$

P (f (x))

$P(f(x))$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

แก้ไข:พิจารณาความหมายของข้อ แต่ละประโยคมีความหมายเชิงปริมาณโดยปริยาย ดังนั้นความหมายของตัวแปรจึงไม่คงที่กับทุกสิ่ง ตอนนี้ขอบอกว่าคุณมีสองประโยคทั้งที่มีxหากคุณดำเนินการแก้ไขปัญหาโดยไม่เปลี่ยนชื่อในหนึ่งในนั้นคุณเพิ่มความหมายให้กับที่ไม่มี: คุณบอกว่าหมายถึงสิ่งเดียวกันในทั้งสองข้อซึ่งไม่เป็นความจริง หากคุณไม่ได้มีตัวแปรที่แตกต่างกันในข้อของคุณการแก้ปัญหาจะให้ข้อสรุปที่อ่อนแอเกินไป $x$ $x$ $x$ $x$

(คำตอบเดิม) ตัวอย่างเช่นเรามี 4 ข้อ

$A\lor B(x)$
$\lnot A\lor C(x)$
$\lnot B(c)$
$\lnot C(d)$

โดยที่คือตัวแปรและค่าคงที่ ถ้าเราดำเนินความละเอียดในสองครั้งแรกโดยไม่ต้องเปลี่ยนชื่อ , เราจะได้รับ(x) เราสามารถดำเนินการกับที่จะได้รับแต่ตอนนี้เราไม่สามารถแก้ปัญหาได้ด้วย(ง) $x, y$ $c, d$ $x$ $B(x)\lor C(x)$ $\lnot B(c)$ $C(c)$ $\lnot C(d)$

ในทางกลับกันถ้าเราเปลี่ยนชื่อเป็นในชุดที่สองเพื่อให้ชุดตัวแปรแยกกันเราจะได้จากขั้นตอนการแก้ปัญหาแรกและเราสามารถหาประโยคว่างโดยใช้และ(ง) $x$ $y$ $B(x)\lor C(y)$ $\lnot B(c)$ $\lnot B(d)$

— Petr Pudlák
แหล่งที่มา

เมื่อฉันลองสิ่งนี้ในภาษิตของฉันด้วยการปิดใช้งานตัวแปรที่แตกต่างกันมันแก้ไขด้วยเพื่อให้ , ได้รับและทำนองเดียวกันกับประโยคว่างดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จึงเหมือนกัน ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า?

B (x)

$B(x)$

\neg B (c)

$\lnot B(c)$

A

$A$

\neg A

$\lnot A$

— rwallace

@rwallace ไม่มีตัวแปรที่แตกต่างกันไม่ได้หมายความว่าคุณไม่สามารถหาประโยคว่างได้ แต่วิธีการนั้นไม่สมบูรณ์ หากคุณเปลี่ยนชื่อตัวแปรเสมอมันไม่สำคัญว่าจะเลือกคำสั่งใดคุณจะได้รับประโยคว่างถ้าชุดเดิมไม่น่าพอใจ - วิธีการนี้เสร็จสมบูรณ์ แต่ถ้าคุณไม่เปลี่ยนชื่อตัวแปรจากนั้น (ตามตัวอย่างแสดง) ลำดับนั้นสำคัญ - ลำดับของการสืบทอดบางส่วนจะไม่พบประโยคว่าง และผู้พูดจะไม่สามารถ "บอก" ล่วงหน้าได้ว่าลำดับการสืบเนื่องใดเป็นลำดับที่เหมาะสม

— Petr Pudlák

แต่ไม่ใช่ในกรณีที่ในที่สุดวิธีการที่สมบูรณ์ต้องลองทุกครั้งที่เป็นไปได้ (เว้นแต่จะพบประโยคว่างก่อน)? เพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีการรับประกันว่าจะลองใช้ derivations ที่ฉันพูดถึงก่อนที่คุณพูดถึง แต่เมื่อสิ่งที่คุณกล่าวถึงล้มเหลวเนื่องจากการขาดตัวแปรที่แตกต่างกันสิ่งที่ฉันกล่าวถึงยังคงเปิดอยู่และวิธีที่สมบูรณ์ต้องกลับไปลอง ไม่ช้าก็เร็วเหล่านั้น?

— rwallace

ภาคผนวกของคุณเกี่ยวกับความหมายของอนุประโยคในนามธรรมทำให้รู้สึก แต่ดูเหมือนว่าถ้าเป็นเช่นนั้นแล้วมันก็ควรจะเป็นไปได้ที่จะหากรณีทดสอบสิ่งที่ฉันสามารถป้อนลงในสุภาษิตและทำให้คำตอบที่ผิดถ้า คุณลักษณะตัวแปรที่แตกต่างถูกปิดใช้งาน ฉันไม่สามารถหากรณีทดสอบดังกล่าวได้

— rwallace

@wallwall ทำไมคุณต้องการที่จะทำเช่นนั้น? การแก้ปัญหาเป็นวิธีการที่สมบูรณ์และคุณรู้ว่าไม่ว่าในกรณีใด ๆ จำเป็นที่จะต้องดำเนินการแก้ปัญหาสำหรับคำสั่งแต่ละคู่เพียงครั้งเดียวเท่านั้น คุณแนะนำให้ลองใช้ลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดในวิธีดำเนินการย้อนรอย สิ่งนี้จะส่งผลให้ความซับซ้อนของอัลกอริทึมเพิ่มขึ้นอย่างมากจริง ๆไม่ได้เปรียบเทียบจากระยะไกลเพียงแค่เปลี่ยนชื่อตัวแปรในแต่ละขั้นตอน

— Petr Pudlák