มีคุกกี้จำนวนเท่าใดในกล่องคุกกี้ - ปูกระเบื้องดาว

กับเทศกาลวันหยุดที่กำลังจะมาฉันตัดสินใจที่จะทำให้บางดาวอบเชย นั่นเป็นเรื่องสนุก (และผลลัพธ์ที่ออกมาอร่อย) แต่ความเบื่อหน่ายภายในของฉันเมื่อฉันใส่ถาดดาวดวงแรกลงในกล่องและพวกมันจะไม่พอดีในชั้นเดียว:

เกือบ! มีวิธีที่พวกเขาจะพอดีหรือไม่? เราจะปูกระเบื้องดาวได้ดีแค่ไหนกันล่ะ? ระบุว่านี่เป็นดาวหกแฉกปกติเราสามารถใช้การเอียงของรูปหกเหลี่ยมที่รู้จักกันดีในการประมาณเช่น:

^{messed up หนึ่งไปที่มุมขวาบนขออภัย}

แต่นี่เป็นสิ่งที่ดีที่สุดเหรอ? มีที่ว่างมากมายระหว่างคำแนะนำ

สำหรับการพิจารณานี้ให้เรา จำกัด ตัวเราไว้ที่กล่องสี่เหลี่ยมและดาวหกแฉกนั่นคือมีสามสิบองศา (หรือ ) ระหว่างคำแนะนำทุกอย่างและเพื่อนบ้านของมัน ดาวฤกษ์นั้นโดดเด่นด้วยรัศมีภายในและรัศมีรอบนอกr_o :$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ แหล่งที่มา ]}

โปรดทราบว่าเรามีรูปหกเหลี่ยมสำหรับและ hexagrams สำหรับr_o ฉันคิดว่ามันสมเหตุสมผลที่จะพิจารณาถึงความสุดยอดเหล่านี้ (สำหรับคุกกี้) และ จำกัด ตัวเราให้อยู่ในช่วงระหว่างนั่นคือBigr]$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

คุกกี้ของฉันมีและโดยไม่สนใจความไม่สมบูรณ์ - ฉันจะได้ลิ้มรสไม่ใช่รูปแบบครั้งเดียว!$r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

การปูกระเบื้องที่ดีที่สุดสำหรับดาวตามที่กล่าวไว้ข้างต้นคืออะไร หากไม่มีการเรียงแบบคงที่ที่ดีที่สุดจะมีอัลกอริทึมในการค้นหาสิ่งที่ดีได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่

ให้ฉันตอบคำถามของคุณบางส่วนสำหรับกรณี hexagram

คุณสามารถเรียงต่อไปนี้

$\hskip1.2in$

จากนี้คุณจะครอบคลุม 12/14 = 6/7 ของเครื่องบิน (นับสามเหลี่ยมในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนประ)

สิ่งนี้ดีที่สุดหรือไม่? ฉันจะคิดอย่างนั้น แม้ว่าฉันจะไม่ให้หลักฐานฉันจะให้ข้อโต้แย้งบางอย่าง เราถามได้ว่าเราสามารถเติมช่องว่าง (สามเหลี่ยม) ในระหว่างแหลมแหลมได้ดีเพียงใด ในการเรียงต่อไปเรากรอกครึ่งหนึ่งของมัน เราทำได้ดีกว่านี้ไหม

$\hskip20mm$

เป็นไปได้ว่ารูปหกเหลี่ยมสองอันจะตัดกันพื้นที่นี้ แต่จากนั้นจะครอบคลุมพื้นที่น้อยมาก (โดยไม่มีการพิสูจน์) หากมีจุดตัดหกเหลี่ยมเพียงจุดเดียวฉันคิดว่าปลายของมันแตะมุมเว้าของรูปหกเหลี่ยมอื่นตามที่แสดงในรูปภาพ หากนี่ไม่ใช่กรณีที่เราสามารถปรับปรุงได้โดยการย้าย hexagram ที่ตัดกันไปยังมุมนี้ (ไม่มีการพิสูจน์อีกครั้งที่นี่) ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ไม่ยากที่จะเห็นว่ากรณีที่มีการติดต่อจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง หากคุณทำคณิตศาสตร์คุณจะพบว่าพื้นที่ของจุดตัดเท่ากับ

พล็อตของฟังก์ชั่นนี้มีลักษณะเช่นนี้และแสดงให้เห็นว่าสัญชาตญาณของเราถูกต้อง

$\hskip30mm$

ต่อไปนี้จะไม่เสนอเป็นการโจมตีที่ชัดเจนหรือเฉพาะเจาะจง / ที่เหนือกว่าในปัญหาที่ซับซ้อนโดยไม่คาดคิดนี้ แต่เป็นมุมเพิ่มเติมทางวิทยาศาสตร์ / ทฤษฎี / การศึกษาทั่วไปที่ไม่ครอบคลุม

1 ^{เซนต์}นี้พื้นที่โดยทั่วไปเป็นที่รู้จักกัน / จัดเป็น"ถังบรรจุ"และเป็นกรณี 2d นี้ มีหลักฐานอันโด่งดังบางส่วนจากคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องเช่นกรณี 3 มิติของการสอบสวนของเคปเลอร์ไปสู่การบรรจุทรงกลมซึ่งเป็นปัญหาแบบเปิดมานานหลายศตวรรษและ "เมื่อเร็ว ๆ นี้" ได้รับการแก้ไขด้วยคอมพิวเตอร์โดยเฮล ตัวอย่าง 2d ที่ใช้ในชีวิตประจำวันในอุตสาหกรรมนั้นใช้สำหรับการปรับโครงร่างชิปให้เหมาะสม เห็นได้ชัดว่านี่แตกต่างจากปัญหา แต่สามารถชี้ไปที่ความซับซ้อนของปัญหาประเภทนี้ ตัวอย่างเช่นดูเหมือนจะไม่มีทฤษฎีใด ๆ ที่ต้องการ / บ่งชี้ว่ากรณี 2d จะง่ายกว่ากรณี 3 มิติ โปรดสังเกตว่าขอบเขตสี่เหลี่ยมผืนผ้าธรรมดาไม่จำเป็นต้องช่วยให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นนอกเหนือจากการพูดว่าเป็นขอบเขตเหลี่ยม

อาจมีวิธีการวิเคราะห์ที่เป็นไปได้ถ้านิยาม / รูปแบบพื้นฐานของ "การเรียงแบบปกติ" บางอย่างได้รับในการแถลงปัญหาเช่นการวางบนกริดเป็นต้นในกรณีที่สมการแคลคูลัสอาจเป็นไปได้และหาได้ที่เหมาะสม

เงื่อนไขของปัญหา (อาจตอบโต้) ดูเหมือนจะไม่นำไปสู่ทางออกที่ดีที่สุดในการวิเคราะห์ นี่อาจเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจสำหรับบางคน แต่มีปัญหาคล้ายกันมากในการเรียงตัวของระนาบว่าจะไม่สามารถตัดสินใจได้ (นี่คือผลที่โด่งดังเมื่อหลายปีก่อนและมีการอ้างอิงมากมาย ความแตกต่างที่สำคัญระหว่าง decidable (แก้ปัญหา / วิเคราะห์) และ undecidable ปัญหาคือไม่ว่าจะเป็นกระเบื้อง "ปกติ" ปัญหาข้างต้นหมายถึง "ดาวทั่วไป" แต่ไม่ได้อ้างถึง "การเรียงแบบปกติ" คำตอบในปัจจุบันอื่น ๆ ถือว่าเรียงลำดับปกติหรือคำสั่ง แต่โปรดทราบว่าแม้การกำหนด "กระเบื้องปกติ" สามารถเป็นเรื่องยากมากอย่างเป็นทางการ / ทางคณิตศาสตร์

ปัญหาเช่นนี้มักจะมีค่อนข้างคล้อยตามขั้นตอนวิธีพันธุกรรม อัลกอริธึมดังกล่าวสามารถค้นหาการบรรจุที่ "ดีมาก" ซึ่งไม่น่าจะได้รับการปรับปรุงมากนักและบางทีขอบเขตบางอย่างอาจถูกนำไปใช้ประโยชน์สูงสุดผ่านวิธีการอันชาญฉลาด (เช่นต้องอยู่ในข้อผิดพลาดเล็กน้อยที่เหมาะสม) เหมาะสมที่สุด

นี่คือบางส่วนพบว่ามีการอ้างอิงโดยตรง:

• ตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมทางพันธุกรรม เกี่ยวกับอัลกอริทึมทางพันธุกรรมสำหรับการบรรจุรูปหลายเหลี่ยม / Jacobs

• อัลกอริทึมสำหรับการบรรจุเชิงเรขาคณิตและปัญหาการปรับขนาด วิทยานิพนธ์ปริญญาเอก / Michael Formann 1992, 92p, วินาที 3.6 การปรับขนาดรูปดาว x-monotone วัตถุ p30

• ถังขยะบรรจุรูปทรงเรขาคณิตสำหรับรูปทรงอาร์บิท / ARFATH PASHA 2003 วิทยานิพนธ์ระดับบัณฑิตศึกษา 87p

• คำถามการแลกเปลี่ยนสแต็คนี้อยู่ใกล้ด้วย บรรจุรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการภายในขอบเขตโดยพลการ มันมีไว้สำหรับขอบเขตโดยพลการ

ในขณะที่ปัญหาเฉพาะนี้อาจยังไม่ได้รับการศึกษาคำถามดังกล่าวได้รับการถามโดย Laszlo Fejes Toth และเป็นที่รู้จักกันเป็นปัญหาการบรรจุ ผมขอแนะนำให้บทที่สามของหนังสือ pach-Agarwal