ความซับซ้อนของการหาค่าสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งเท่ากับจำนวน

สมมติว่าคุณได้รับตัวเลข (โดยใช้บิตในการเข้ารหัสไบนารี่) $m$ $O(\log m)$

คุณจะค้นหาได้เร็วแค่ไหน (หรือหาว่าไม่มีอยู่จริง)

n, k \in N, 1 < k \leq \frac{n}{2} : (\binom{n}{k}) = m

$n,k\in \mathbb N, 1<k\leq\frac{n}{2}:{n \choose k}=m$ ?

ยกตัวอย่างเช่นการป้อนข้อมูลให้ $m=8436285$ หนึ่งการส่งออกเดือนพฤษภาคม $n=27, k=10$ k

อัลกอริทึมไร้เดียงสาสำหรับปัญหาจะข้ามค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับ $n$ และค้นหาค่า $k$ ที่ตรงกับคุณสมบัติ

สังเกตง่ายๆก็คือว่ามีไม่จำเป็นต้องตรวจสอบค่าของ $n$ มีขนาดเล็กกว่า $\log m$ หรือขนาดใหญ่กว่า $O(\sqrt m)$ เมตร) อย่างไรก็ตาม (แม้ว่าเราจะสามารถตรวจสอบเฉพาะค่า $O(1)$ เป็นไปได้ต่อค่า ) ซึ่งจะสิ้นสุดลงในอัลกอริทึมที่ไม่มีประสิทธิภาพซึ่งเป็นเลขชี้กำลังในขนาดอินพุต $k$ $n$

อีกวิธีหนึ่งที่จะใช้ประเมินค่าเป็นไปได้ $k$ (เพียงพอที่จะตรวจสอบ $\{2,3,\ldots,2\log m\}$ ) และสำหรับการตรวจสอบค่าเป็นไปได้แต่ละ $n$ รายการ จากนั้นเราสามารถใช้:

{(\frac{n}{k})}^{k} < (\binom{n}{k}) < \frac{n^{k}}{k!}

$\left(\frac{n}{k}\right)^k<{n\choose k}< \frac{n^k}{k!}$

ดังนั้นสำหรับกำหนด $k$ เราจะต้องตรวจสอบค่า $n$ ในช่วง $[\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m\cdot k!},\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m}\cdot{k}]$ , ทำเช่นนั้นโดยใช้การค้นหาแบบไบนารี่ (เมื่อ $k$ คงที่, $n \choose k$ จะเพิ่มขึ้นแบบ monotonically ใน $n$ ), ทำให้อัลกอริทึมพหุนามทำงานใน $O(\log^2m)$ 2m)

นี่ยังดูเหมือนไม่มีประสิทธิภาพสำหรับฉันและฉันเดาว่าจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้น (ในขนาดอินพุต)

algorithms combinatorics

— RB
แหล่งที่มา

คุณลองทำอะไรไปแล้ว? คำแนะนำ: สมมติว่าได้รับ

n

$n$ เช่นกัน คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้ไหม? ช่วงของค่าที่เป็นไปได้สำหรับ

n

$n$ คือเท่าใด หรือสมมติว่าได้รับ

k

$k$ คุณสามารถแก้มันในกรณีนั้นได้ไหม? ช่วงของค่าที่เป็นไปได้สำหรับ

k

$k$ คือเท่าใด

— DW

มันไม่ได้เป็นความจริงที่ว่า $(n-k)^k<{n\choose k}$ k} ยกตัวอย่างเช่น ${9\choose 2} = 36 < 49 = (9-2)^2$ 2

ฉันยังไม่พบวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียดโดยใช้คุณสมบัติเลขคณิตของสัมประสิทธิ์ทวินามอย่างไรก็ตามฉันสามารถแนะนำวิธีแก้ปัญหาที่มีประโยชน์หาก :-)

คุณสามารถสำหรับแต่ละ , แก้ปัญหาสำหรับโดยการคาดเดาครั้งแรก (พูด ) และใช้วิธีการวิเคราะห์เช่น Newton-Raphson คุณต้องการที่จะแก้0 อนุพันธ์ของทางด้านซ้ายมือที่เกี่ยวกับคือโดยที่เป็นฟังก์ชัน digamma ซึ่งง่ายต่อการคำนวณ . $k$ $n$ $\sqrt[k]{k!\cdot m}$ ${n\choose k} - m = 0$ $n$ $(\psi(n+1)-\psi(n-k+1)){n\choose k}$ $\psi$

ความซับซ้อนของการค้นหานิวตัน - ราฟสันนั้นขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของการคำนวณฟังก์ชั่นและอนุพันธ์ของมันและจำนวนหลักที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา (ในกรณีของเราเราต้องการจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด)

ดังนั้นโดยรวมสำหรับแต่ละการค้นหาควรเป็น (สมมติว่าคุณทำเสร็จแล้วการคำนวณสัมประสิทธิ์ทวินามใช้เวลาคงที่) ดังนั้นความซับซ้อนโดยรวมของอัลกอริธึมที่ใช้ขอบเขตสำหรับจะเท่ากับ(M)) $k$ $O(1)$ $k$ $O(\log(m))$

— David Durrleman
แหล่งที่มา

ในขณะที่ฉันยอมรับขอบเขตถูกปิด (ดูการแก้ไขขอขอบคุณสำหรับสิ่งนั้น) คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมการค้นหาด้วยใช้ ?

k

$k$

O (1)

$O(1)$

— RB