แพ้ในคอนเสิร์ต "ทิศทางเดียว"

คุณและเพื่อนสูญเสียกันและกันในคอนเสิร์ตและไม่แน่ใจว่าใครในอนาคตข้างหน้า อย่างเป็นทางการแต่ละคนอยู่ในพิกัดจำนวนเต็มบางส่วนและอาจเดินไปทางพิกัดที่สูงขึ้นหรืออยู่ในสถานที่

สมมติว่าคุณและเพื่อนของคุณกำลังติดตามอัลกอริทึมที่แน่นอน (และไม่คุณอาจไม่พูดว่า "if (name ==" R B ") ทำอะไร :)) และระยะทางเริ่มต้นระหว่างคุณสองคนคือ (ซึ่งไม่ใช่ รู้จักคุณ) $x$

อัลกอริธึมที่ลดระยะทางเดินที่คาดไว้ให้น้อยที่สุดจนกว่าคุณและเพื่อนของคุณจะพบกันคืออะไร

คุณอาจคิดว่าทั้งเพื่อนและตัวคุณเองกำลังเคลื่อนไหวด้วยความเร็วคงที่เท่ากัน

อัลกอริธึมตัวอย่างง่าย ๆ จะเป็นดังนี้:

ที่เวที (เริ่มต้นจาก ): $n$ $0$

เดินขั้นตอนในการงาน wp ขวา $3^n$ หรือรอเวลาหน่วยเป็นอย่างอื่น $\frac{1}{2}$ $3^n$

หากต้องการดูขั้นตอนวิธีการนี้จะทำให้เพื่อน ๆ พบกับความน่าจะเป็นที่ 1 พิจารณาสิ่งที่เกิดขึ้นในขั้นตอน )แม้ว่าเพื่อนที่เป็นก้าวไปข้างหน้าเสมอเดินและอื่น ๆ มักจะอยู่ในสถานที่ที่ระยะห่างระหว่างทั้งสองจะเป็น: $(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

ดังนั้นเมื่อการซ้ำเพื่อนที่เลือกเดินจะครอบคลุมระยะทางดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็น $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ เพื่อนที่อยู่ข้างหลังจะตามทันและพวกเขาจะได้พบกัน $\frac{1}{4}$

การเพิ่มประสิทธิภาพอย่างง่าย (เพื่อลดระยะการเดิน) จะเป็นแทนที่จะเดินก้าวเดินก้าวโดยให้ : $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

ดังนั้นดีที่สุดสำหรับอัลกอริทึมนี้คือ $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

น่าเสียดายที่อัลกอริทึมนี้รับประกันว่าเพื่อน ๆ จะได้พบกับความน่าจะเป็น 1 ระยะทางเดินที่คาดหวังนั้นไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันต้องการหลีกเลี่ยงถ้าเป็นไปได้

มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นหรือไม่

algorithms randomized-algorithms

— RB
แหล่งที่มา

เมื่อคุณพูดว่า "ระยะทางเดินที่คาดหวัง" - คุณหมายถึงในกรณีที่แย่ที่สุดซึ่งอัลกอริทึมนั้นน่าจะเป็นหรือคุณคิดว่ามีการแจกแจงบางอย่างในอินพุตหรือไม่? นอกจากนี้ - คุณต้องการอัลกอริทึมของคุณให้ถูกต้องเสมอหรือถูกต้อง wp 1 หรือไม่ (หรือน้อยกว่า) - โปรดทราบว่าอัลกอริทึมที่คุณนำเสนอที่นี่อาจไม่เคยหยุด (แต่ WP 0)

— Shaull

สิ่งนี้คล้ายกับปัญหาการค้นหาเชิงเส้น ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem )

— Yuval Filmus

@Shaull - เนื่องจากเพื่อนทั้งสองกำลังติดตามอัลกอริทึมเดียวกันจึงต้องมีความน่าจะเป็นหรือพวกเขาจะไม่เคยพบกัน ความคาดหวังมากกว่าการสุ่มอัลกอริทึม

— RB

ในอัลกอริทึมของคุณคุณหมายถึงการเดิน

หน่วยเวลาไปทางขวาด้วยความเร็วคงที่

หรือไม่? เดิน

ขั้นตอนอาจจะไม่ได้พูดคุย 2 ^ n เวลา

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 吖奇说 ARCHY SHUō

@ 0a-archy - เราคิดว่าทั้งคู่กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเดียวกัน (ปล่อยให้มันเป็น 1

สำหรับเรื่องนี้) ความคิดในขั้นตอนวิธีการที่ผมให้คือการที่คุณเดินทั้ง

ขั้นตอนหรือรอเวลาเทียบเท่าดังนั้นแต่ละซ้ำจะเริ่มต้นในเวลาเดียวกันสำหรับผู้เล่นทั้งสอง

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— RB

ในขั้นตอนวาดจำนวนสุ่มสม่ำเสมอระหว่าง , และ3 $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

ถ้าเดิน $q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

ถ้ารอเดินรอ $q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

ถ้ารอ $q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

$k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

ดังนั้นระยะทางเดินที่คาดหวังคือ (จำกัด โดย:)

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

Which is finite, and equal, if my napkin maths are to be trusted, to $2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$ .

By the way, if $d$ is the random variable representing the distance walked, we still have that $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ , i.e. the distance is unbounded and can end up being arbitrarily high. Luckily this probability vanishes fast enough to ensure that the infinite sum $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ converges. Having a finite upper bound for $d$ is a much stronger property and I reckon it's not possible to find a solution satisfying it.

— David Durrleman
แหล่งที่มา