อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณหมายเลขฟีโบนักชีที่

จำนวนที่ Fibonacci สามารถคำนวณในเวลาเชิงเส้นโดยใช้การเกิดซ้ำดังต่อไปนี้:$n$

def fib(n):
    i, j = 1, 1
    for k in {1...n-1}:
        i, j = j, i+j
    return i

หมายเลขที่ Fibonacci สามารถคำนวณได้ด้วย[ φ n / $n$. แต่นี้มีปัญหากับการปัดเศษปัญหาแม้มีขนาดค่อนข้างเล็กn อาจมีวิธีการรอบนี้แต่ฉันไม่อยากทำอย่างนั้น$\left[\varphi^n / \sqrt{5}\right]$$n$

มีอัลกอริทึม(ลอการิทึมในค่าหรือดีกว่า) ที่มีประสิทธิภาพเพื่อคำนวณจำนวนฟีโบนักชีที่nที่ไม่พึ่งพาเลขคณิตจุดลอยตัวหรือไม่? สมมติว่าการดำเนินการจำนวนเต็ม ( + , - , × , / ) สามารถดำเนินการได้ในเวลาคงที่$n$$n$$+$$-$$\times$$/$

คุณสามารถอ่านบทความทางคณิตศาสตร์นี้: ขั้นตอนวิธีการอย่างรวดเร็วสำหรับการคำนวณตัวเลข Fibonacci ขนาดใหญ่ (ไดสุเกะทากาฮาชิ): รูปแบบไฟล์ PDF

ง่ายกว่านี้ฉันได้ติดตั้งอัลกอริทึมของฟีโบนักชีหลายรูปแบบใน C ++ (โดยไม่ต้องและด้วย GMP) และ Python แหล่งข้อมูลที่สมบูรณ์บน Bitbucket จากหน้าหลักคุณสามารถติดตามลิงค์ไปยัง:

• เอกสารออนไลน์ C ++ HTML
• เอกสารทางคณิตศาสตร์เล็กน้อย: หมายเลขฟีโบนักชี - ความสัมพันธ์หลายอย่างที่จะใช้อัลกอริธึมที่ดี

สูตรที่มีประโยชน์ที่สุดคือ:

• $F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1} = 2 F_n F_{n - 1} + F^2_n$
• $F_{2n + 1} = F^2_{n + 1} + F^2_n$

ระวังอัลกอริทึม คุณต้องไม่คำนวณค่าเดียวกันหลาย ๆ ครั้ง อัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำง่าย ๆ (ใน Python):

def fibonacci_pair(n):
    """Return (F_{n-1}, F_n)"""
    if n != 0:
        f_k_1, f_k = fibonacci_pair(n//2)  # F_{k-1},F_k with k = n/2

        return ((f_k**2 + f_k_1**2,
                 ((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2) if n & 1 == 0  # even
                else (((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2,
                      (f_k + f_k_1)**2 + f_k**2))
    else:
        return (1, 0)

$O(\log n)$

$O(\log_2 n)$

ตรวจสอบการคำนวณเรื่องหนังสือฟรีและรหัส pari / gp