การพิสูจน์ความซับซ้อนของเวลาสำหรับการนำทรีเซ็กเมนต์ของปัญหาผลรวมระยะไกล

ผมเข้าใจว่าต้นไม้ส่วนที่สามารถใช้ในการหาผลรวมของอาร์เรย์ย่อยของ และที่สามารถทำในนี้เวลาตามกวดวิชาที่นี่$A$$\mathcal{O}(\log n)$

แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเวลาสอบถามย่อมเป็นn) ลิงค์นี้ (และอื่น ๆ อีกมากมาย) บอกว่าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าในแต่ละระดับจำนวนสูงสุดของโหนดประมวลผลเป็นและอื่น ๆn)$\mathcal{O}(\log n)$$4$$\mathcal{O}(4 \log n) = \mathcal{O}(\log n)$

แต่เราจะพิสูจน์เรื่องนี้ได้อย่างไรโดยความขัดแย้ง?

และถ้าเป็นเช่นนั้นถ้าเราจะใช้เซกเมนต์ต้นไม้เพื่อหาผลรวมของอาร์เรย์มิติที่สูงขึ้นการพิสูจน์จะขยายออกไปได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่นฉันสามารถคิดถึงการหาผลรวมย่อยของเมทริกซ์ย่อยโดยแบ่งเมทริกซ์ดั้งเดิมออกเป็น 4 ส่วน (คล้ายกับช่วงเวลาแบ่งครึ่งในอาร์เรย์เชิงเส้น) สร้างต้นไม้เซ็กเมนต์ Quadrant แต่หลักฐานพิสูจน์ฉัน

การเรียกร้องคือว่ามีมากที่สุด $2$โหนดที่ขยายในแต่ละระดับ เราจะพิสูจน์สิ่งนี้ด้วยความขัดแย้ง

พิจารณาต้นไม้ส่วนที่ระบุด้านล่าง

สมมติว่ามี $3$โหนดที่ถูกขยายในทรีนี้ ซึ่งหมายความว่าช่วงนั้นมาจากโหนสีด้านซ้ายสุดไปจนถึงโหนดที่มีสีมากที่สุด แต่โปรดสังเกตว่าถ้าช่วงขยายไปถึงโหนดส่วนใหญ่ด้านขวาแล้วช่วงเต็มของโหนดกลางจะครอบคลุม ดังนั้นโหนดนี้จะคืนค่าทันทีและจะไม่ถูกขยาย ดังนั้นเราพิสูจน์ได้ว่าในแต่ละระดับเราขยายได้มากที่สุด$2$ โหนดและเนื่องจากมี $\log{n}$ ระดับโหนดที่ถูกขยายคือ $\boxed{2 \cdot \log{n} = \Theta\left( {\log{n}} \right)}$