2-SAT กับ XOR-Relations NP-complete หรือไม่

ฉันสงสัยว่ามีอัลกอริทึมแบบพหุนามสำหรับ "2-SAT พร้อมความสัมพันธ์ XOR" ทั้ง 2-SAT และ XOR-SAT อยู่ใน P แต่เป็นการรวมกันหรือไม่

อินพุตตัวอย่าง:

• ส่วนที่ 2-SAT: (a or !b) and (b or c) and (b or d)

• ส่วนแฮคเกอร์: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

กล่าวอีกนัยหนึ่งอินพุตเป็นสูตรบูลีนต่อไปนี้:

ตัวอย่างผลลัพธ์: พอใจ: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0

ทั้งจำนวน 2-SAT clauses และจำนวน XOR clauses ในอินพุตคือโดยที่nคือจำนวนตัวแปรบูลีน$O(n)$$n$

2-SAT-with-XOR-ประชาสัมพันธ์สามารถพิสูจน์ NP- สมบูรณ์โดยการลดลงจาก 3-SAT ประโยค 3-SAT ใด ๆสามารถเขียนลงในนิพจน์ที่สัมพันธ์กัน 2-SAT-with-XOR- ความสัมพันธ์โดยมีและเป็นตัวแปรใหม่( x 1 ∨ ¯ Y ) ∧ ( Y ⊕ x 2 ⊕ Z ) ∧ ( ¯ Z ∨ x 3 ) Y

คุณไม่ได้ระบุ arity ของความสัมพันธ์ XOR ของคุณ แต่เช่นในการลด SAT-to-3SAT ปกติคุณสามารถจัดการได้ว่า arity ของพวกเขานั้นมีค่ามากที่สุด 3 ตอนนี้คุณอยู่ในตำแหน่งที่ดีที่จะใช้ทฤษฎีบทการแบ่งขั้วของ Schaeferซึ่งจะ บอกคุณว่าปัญหาของคุณอยู่ในรูปแบบ P หรือ NP-Complete หรือไม่ (เป็นเพียงสองตัวเลือกเท่านั้น) หากปรากฏว่าอยู่ใน P ขั้นตอนต่อไปอาจดูที่Allender et al ซึ่งจะช่วยให้คุณทราบว่าปัญหาของคุณง่ายเพียงใด

โดยทฤษฎีบทการแบ่งขั้วของ Schaeferนี่คือปัญหา NP-complete

$\Gamma$$R(x,y,z)$$x \lor y$$x \lor \neg y$$\neg x \lor \neg y$$x \oplus y \oplus z$$x \oplus y \oplus \neg z$

ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทขั้ว Schaefer ของในรูปแบบที่ทันสมัย ตรวจสอบแต่ละการดำเนินการหกรายการเพื่อดูว่ามีความหลากหลายหรือไม่:

• $x \lor y$
• $\neg x \lor \neg y$
• $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• $\neg x \lor \neg y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$
• $x \oplus y \oplus z$$(0,0,1)$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$$(0,0,0)$

มันตามมาว่าปัญหานี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์แบบถึงแม้ว่าคุณจะ จำกัด ส่วนคำสั่ง XOR ทั้งหมดให้มีความยาวไม่เกิน 3 ข้อ

$(x \oplus y)$$(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$