ทำไมทฤษฎีบทของ Schaefer ไม่ได้พิสูจน์ว่า P = NP

นี่อาจเป็นคำถามที่โง่ แต่ฉันก็ไม่เข้าใจ อีกคำถามที่พวกเขามากับทฤษฎีบทขั้ว Schaefer ของ สำหรับฉันมันดูเหมือนว่าจะพิสูจน์ว่าปัญหา CSP ทุกอย่างเป็น P หรือสมบูรณ์ NP แต่ไม่ได้อยู่ในระหว่าง เนื่องจากปัญหา NP ทุกข้อสามารถแปลงในเวลาพหุนามให้เป็น CSP (เพราะ CSP เป็นปัญหาที่สมบูรณ์) ทำไมจึงไม่พิสูจน์ว่าไม่มีช่องว่างระหว่าง P และ NP-Complete และ P = NP?

ตัวอย่างความคิดของฉันเป็นไปได้การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มสามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาความพึงพอใจดังนั้นการใช้ทฤษฎีบทของ Schaefer มันควรจะเป็นแบบ P หรือ NP-complete แต่ไม่ใช่ในระหว่าง (แม้ว่าเราจะไม่สามารถหาได้

วิธีอื่นในการดูคำถามทั้งหมด: ทำไมเราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทของ Schaefer ในการตัดสินใจว่าการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มอยู่ใน P หรือใน NP-complete หรือไม่

แก้ไข: เพื่อตอบสนองต่อคำตอบของ David Richerby (มันยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็น):

น่าสนใจ แต่ฉันยังไม่เข้าใจ เมื่อกำหนดชุดของแกมมาความสัมพันธ์ในขณะที่ใช้ทฤษฎีบทของ Schaefer เราอาจกำหนดข้อ จำกัด ตัวอย่างเช่นเราอาจ จำกัด แกมมาให้ใช้ความสัมพันธ์ของ arity 2 เท่านั้น (ปัญหานี้เป็น P) เราสามารถกำหนดข้อ จำกัด ประเภทใดในแกมมา

ทำไมเราไม่สามารถกำหนดข้อ จำกัด เช่นนั้นทุกกรณีของ CSP (แกมม่า) ได้เหมือนกับ (isomorphic ถึง?) L? ตัวอย่างเช่นเมื่อทำการแปลงตัวประกอบจำนวนเต็มของจำนวนที่ไม่สม่ำเสมอหนึ่งในสองตัวหารคือเลขฐานสองแทนเป็น xn .. x3 x2 1. ตอนนี้ฉันต้องการให้หมายเลขนี้มากกว่า 1 ดังนั้นฉันจึงมีความสัมพันธ์ (xn หรือ .. หรือ x3 หรือ x2) ดังนั้นฉันจึงบอกว่าแกมม่าสามารถมีหรือความสัมพันธ์ของ arity n-1 แต่ฉันไม่ต้องการให้มีการใช้ความสัมพันธ์หรือการรวมอินสแตนซ์อื่นนอกเหนือจาก L ในภาษาดังนั้นฉันจึงกำหนดให้ x2..xn ในความสัมพันธ์หรือความสัมพันธ์ไม่ได้รับอนุญาตให้มีการปฏิเสธ แน่นอนฉันต้องกำหนดข้อ จำกัด ที่ใช้เฉพาะตัวแปรเท่านั้น

เป็นไปได้ไหมที่วิธีนี้จะทำให้ CSP (gamma) เป็น isomorphic ต่อการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม? คำถามหลักคือเรามีข้อ จำกัด ประเภทใดในการกำหนดแกมมา

แก้ไข 2: ตอบสนองต่อคำตอบของ Yuval Filmus

ฉันเข้าใจคำตอบของคุณและดูเหมือนถูกต้อง แต่ก็เหมือนกับคำตอบของเดวิด ตัวอย่างเช่นเราอาจลดการแยกตัวประกอบเป็น 3 sat แล้วสรุปว่าการแยกตัวประกอบเป็น NP สมบูรณ์ซึ่งผิดเนื่องจาก 3-sat มีอินสแตนซ์อื่น ๆ ที่อาจไม่แยกตัวประกอบ

ส่วนที่ฉันไม่เข้าใจคือเมื่อมีอินสแตนซ์ (ไม่ใช่ -) โดยพลการ ตัวอย่างเช่น 2-SAT ก็ดูเหมือนว่าจะไม่ผิดพลาดเพราะฉันอนุญาตเฉพาะอนุประโยค arity 2 (แม้ว่าฉันต้องยอมรับว่าหลักฐานนั้นยังคงมีอยู่เพราะมันเป็นขอบเขตบนและในกรณีนี้ขอบเขตบนคือ P)

บางทีตัวอย่างที่ดีกว่าก็คือ NP-ครบถ้วนสมบูรณ์: คำถามที่เชื่อมโยงข้างต้น ผู้ตอบคำถามคนหนึ่งให้การพิสูจน์แบบเต็มของ Schaefer แต่ฉันกำหนดข้อ จำกัด ที่ไม่น่ารำคาญกับอินพุต (อนุประโยค 2-SAT ได้รับอนุญาตและอนุประโยค xor-clauses แต่ไม่มีอะไรอื่น) แน่นอนว่าการพิสูจน์ยังคงมีอยู่เพราะปัญหา CSP ที่พิจารณาในการพิสูจน์นั้นเหมือนกันกับต้นฉบับ

ส่วนที่ฉันไม่เข้าใจคือสาเหตุที่เราไม่สามารถทำการแยกตัวประกอบได้ แน่นอนว่ามันไม่มีประโยชน์ที่จะลดลงเหลือ 3-SAT แต่ให้ฉันบอกอินสแตนซ์ CSP ที่ทำให้ตัวเลขเป็นตัวประกอบและแยกเฉพาะตัวเลข (4 บิต) (ข้ามไปที่สิ้นสุดการข้ามหากคุณเชื่อว่าเป็นไปได้)

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบ

INPUT:

(N =) (4 บิตของตัวเลขเพื่อแยกตัวประกอบ) (M =) (4 บิตของค่าต่ำสุดของตัวหารแรก) $n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

ตอนนี้เรามาแปลงเป็นอินสแตนซ์ CSP

INPUT:
โดเมนที่ไม่รวมสำหรับและสำหรับ (แสดงว่าได้รับ N และ M)$n_5..n_1$$m_5..m_1$

ตัวแปรที่มีโดเมน {0,1}:
(D =) (ตัวหารแรก) (E =) (ตัวที่สอง)$d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

ความสัมพันธ์:

$e_4 \lor e_3 \lor e_2$ (หมายถึง E> 1)

$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$
(แทน D> M)

$d_1 \land e_1 = n_1$ (หมายถึงการคูณบิตที่สำคัญน้อยที่สุด) (แสดงถึงการคูณบิตถัดไป)
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

สิ้นสุดของข้าม

ปมคือเมื่อใช้ทฤษฎีบทของ Schaefer เราต้องพิจารณา CSP เช่นนั้นเท่านั้น (เช่นเดียวกับ 2-SAT เราพิจารณา CSP ด้วย arity 2 เท่านั้น) เมื่อทำเช่นนั้นหนึ่งในหกของความแตกต่างหลากหลายถือหรือไม่ (บันทึกนิสัยบางอย่างในทฤษฎีเซต) ไม่ว่าในกรณีใดการแยกตัวประกอบไม่ได้เป็นปัญหาระดับกลาง

สิ่งนี้สามารถทำได้สำหรับ 3-SAT จากนั้นเราควรพิจารณา (ใช้การลดลง) อินสแตนซ์ 3-SAT ที่แสดงอินสแตนซ์ของการแยกตัวประกอบ (ซึ่งไม่ใช่ 3-SAT อีกต่อไป)

ฉันไปผิดที่ไหน

เมื่อคุณแปลพลNPปัญหา เพื่อ CSP คุณท้ายด้วยชุดของกรณีที่มีข้อ จำกัด บางภาษาบางคน (ชุดของความสัมพันธ์)  \สิ่งที่ทฤษฎีบทของ Schaeffer กล่าวคือการตัดสินใจว่าอินสแตนซ์ทั้งหมดของ CSP ( ) นั้นเป็นแบบPหรือสมบูรณ์แบบNP แต่ถ้าคุณจำเป็นต้องตัดสินใจว่ามีชุดอินสแตนซ์ที่ถูก จำกัด (เช่นอินสแตนซ์ที่คุณได้รับจากการแปลปัญหา  ) มันอาจจะง่ายกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า  เป็นNP -ระดับกลางการแก้ไขอินสแตนซ์ที่สอดคล้องกันของ CSP ( ) ก็จะเป็นNPΓ Γ L L Γ L $L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$- ระดับกลาง - คุณสามารถแปลอินสแตนซ์กลับเป็นอินสแตนซ์ของ และแก้ปัญหาที่นั่นได้ แต่การแก้ปัญหาการเรียนของ CSP ทั้งหมด ( ) กรณีจะNPสมบูรณ์$L$$\Gamma$

ทฤษฎีบท Schaefer ครอบคลุมสถานการณ์ที่เฉพาะเจาะจงมาก: คุณจะได้รับชุด จำกัดของความสัมพันธ์และมีความสนใจในความซับซ้อนของGamma) ทฤษฎีบทของ Schaefer ให้อัลกอริทึมแก่คุณในการตัดสินใจว่าปัญหานี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์หรือเป็น P ไม่ครอบคลุมสถานการณ์อื่นใดC S P ( Γ $\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

เมื่อคุณแปลปัญหาเช่นการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็น CSP คุณจะใช้ชุดของความสัมพันธ์ซึ่งคือ NP-complete (สิ่งนี้เนื่องจากความเชื่อทั่วไปว่าการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มไม่ได้อยู่ใน P ) แต่อินสแตนซ์ของคุณไม่ได้เป็นแบบสุ่มดังนั้นทฤษฎีบทของ Schaefer จะให้ความสำคัญกับความซับซ้อนเท่านั้น มันอาจเป็นไปได้ว่าการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มนั้นอันที่จริงแล้วไม่ใช่ปัญหาสมบูรณ์C S P ( Γ $\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$