ความสม่ำเสมอของภาษาเอกนารีที่มีความยาวรวมสองคำ สามสี่เหลี่ยม

ฉันคิดถึงภาษาเอก $L_k$ที่ไหน $L_k$ คือชุดของคำทั้งหมดที่ความยาวคือผลรวมของ $k$สี่เหลี่ยม อย่างเป็นทางการ:

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$ไม่ปกติ (เช่นกับ Pumping-Lemma)
ยิ่งไปกว่านั้นเรารู้ว่าจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวนั้นคือผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่อันซึ่งมีความหมายว่า$k\ge 4$ ทุกภาษา $L_k$ เป็นปกติตั้งแต่ $L_k=L(a^*)$.

ตอนนี้ฉันสนใจในกรณี $k=2$ และ $k=3$:

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$, $L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$.

น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถแสดงได้ว่าภาษานี้เป็นภาษาปกติหรือไม่ (แม้จะได้รับความช่วยเหลือจากทฤษฎีบทสามสแควร์ของเลอช็องดร์หรือทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ในจำนวนสองสแควร์ส )

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าอย่างน้อย $L_2$ไม่ใช่เรื่องปกติ แต่การคิดอย่างไม่มีความสุขไม่ใช่ข้อพิสูจน์ ความช่วยเหลือใด ๆ

เริ่มกันเลย $L_2$. เป็นที่ทราบกันว่าความหนาแน่นสูงสุดของจำนวนเต็มซึ่งเป็นผลรวมของสองกำลังสองคือ 0 ถ้า$L_2$เป็นปกติแล้วมันจะเป็นคาบในที่สุดและอย่างนั้นเนื่องจากความหนาแน่นส่วนบนของมันคือ 0, จำกัด แต่เรารู้ว่ามีจำนวนเต็มขนาดใหญ่โดยพลการ$L_2$, ดังนั้น $L_2$ ไม่สามารถเป็นปกติ

เกี่ยวกับ $L_3$พิจารณาคำพูด $w_k = 1^{4^k 7}$. ฉันอ้างว่าสำหรับ$k < \ell$, คำ $w_k,w_\ell$มีความไม่เท่าเทียมกัน อันที่จริง$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$ ในขณะที่ $w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$. เกณฑ์ Myhill – Nerode นั้นแสดงให้เห็นว่า$L_3$ ไม่สม่ำเสมอ

สมมติ $L_3$เป็นปกติ ดังนั้นจึงเป็นส่วนประกอบของมันซึ่งตามทฤษฎีบทสามตารางของเลอช็องดร์คือ$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$. ตามทฤษฎีบทของ Parikhสิ่งนี้จะบอกเป็นนัยว่าเซตของความยาว$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ เป็นกึ่งเชิงเส้นคือสหภาพที่ จำกัด $\bigcup_{i=1}^NS_i$ ของชุดเชิงเส้น $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$.

พิจารณาสององค์ประกอบ $s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ กับ $k_1>k_2$และปล่อยให้ $r:=k_1-k_2$. ถ้า$s_1,s_2$ มีทั้งที่เหมือนกัน $S_i$ก็เช่นกัน $2s_1-s_2$ หรือ $2s_2-s_1$ (ขึ้นอยู่กับว่า $s_1<s_2$ หรือ $s_1>s_2$) แต่

• $2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$ที่ไหน $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$,
• $2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$ที่ไหน $l'=2l_2-4^rl_1$.

สิ่งเหล่านี้ไม่ได้อยู่ใน $S$ดังนั้น $s_1,s_2$จะต้องมีสมาชิกที่แตกต่างกันของสหภาพ แต่สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตั้งแต่$S$ เป็นสหภาพที่แน่นอนและมีความแตกต่างมากมาย $k$.

ดังนั้น, $L_3$ ไม่ปกติ