วิธีสร้างประตู XOR โดยใช้เกต NAND เพียง 4 ตัว

xorเกทตอนนี้ฉันต้องสร้างเกทนี้โดยใช้nandเกท4 เท่านั้น

a b out
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

the xor = (a and not b) or (not a and b)ซึ่งก็คือ

ฉันรู้คำตอบ แต่จะได้รับแผนภาพประตูจากสูตรได้อย่างไร

แก้ไข

xor = (a and not b) or (not a and b)ผมหมายถึงสังหรณ์ใจให้ฉันฉันควรจะได้รับอย่างใดอย่างหนึ่งถ้าผมทำทีละขั้นตอนตามคำนิยาม

และxorจะสร้างด้วย 5 nandประตู (ภาพแรก # 1 ด้านล่าง)

คำถามของฉันเป็นเหมือน: ลองนึกภาพคนแรกในประวัติศาสตร์ที่คิดสูตรนี้เขาหรือเธอ (กระบวนการคิด) จะได้รับการแก้ปัญหา 4 nandครั้งจากสูตรนี้ได้อย่างไร

จากสูตรนั้น มันสามารถทำได้ แต่การเริ่มต้นด้วยสิ่งนี้ง่ายกว่า: (ใช้สัญลักษณ์อื่นที่นี่)

a ^ b = ~(a & b) & (a | b)

ตกลงตอนนี้คืออะไร ในที่สุดเราก็ควรจะได้รับ~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))(ซึ่งดูเหมือนว่าจะมี 5 NANDs แต่เช่นเดียวกับแผนภาพวงจรที่มีการแสดงออกย่อยซึ่งใช้สองครั้ง)

ดังนั้นทำสิ่งที่ดูเหมือน~(a & b) & a(และสิ่งเดียวกัน แต่ด้วยbตอนจบ) และหวังว่ามันจะติดอยู่: ( andกระจายไปor)

(~(a & b) & a) | (~(a & b) & b)

ปิดตอนนี้เพียงแค่ใช้ DeMorgan เพื่อเปลี่ยนค่ากลางorให้เป็นand:

~(~(~(a & b) & a) & ~(~(a & b) & b))

และนั่นคือมัน

ฉันคิดว่าคุณกำลังขอหลักฐานนี้:

A^B = (!A)B + A(!B)
    = !!((!A)B) + !!(A(!B))
    = !(!!A + !B) + !(!A + !!B)
    = !(A + !B) + !(!A + B)
    = !((A + !B)(!A + B))
    = !(A(!A) + AB + (!A)(!B) + B(!B))
    = !(AB + (!A)(!B))
    = !(AB)(!(!A)(!B))
    = !(AB)(!!A + !!B)
    = !(AB)(A+B)
    = !(AB)A + !(AB)B
    = !!(!(AB)A + !(AB)B)
    = !((!(!(AB)A))(!(!(AB)B)))

แม้ว่าจะเห็นได้ชัดว่ามีการใช้ 5 NANDs ในสมการผลลัพธ์ แต่ซ้ำกัน!(AB)จะถูกใช้เพียงครั้งเดียวเมื่อคุณกำลังออกแบบวงจร

เนื่องจากคุณมีคำตอบไดอะแกรมอยู่แล้วจึงสามารถเปิดใช้งานได้อย่างง่ายดายจาก วิกิพีเดียโดยพิมพ์ชื่อคำถามของคุณใน Google เป็นไดอะแกรม. png ที่ เหมือนกันกับของคุณคุณควรหาสูตรได้ง่ายโดยแยกออกจากไดอะแกรมนั้น ให้นิยาม NAND เป็น $\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}\;$:

• ประตูด้านซ้ายสุดให้ ;$C=\overline{AB}$

• ประตูด้านบนให้ ;$D_1=\overline{AC}$

• ประตูด้านบนให้เนื่องจาก NAND เป็น commutatve เช่น AND;$D_2=\overline{BC}$

• ประตูขวาสุดให้ 2$E=\overline{D_1D_2}$

เมื่อนำทุกอย่างมารวมกันเราจะทราบก่อนว่า

$C=\overline{AB}=\overline A+\overline B$

$\begin{align} \overline{D_1}&=AC\\ &=A(\overline A+\overline B)\\ &=A\overline A+A\overline B\\ &=0+A\overline B\\ &=A\overline B\\ \end{align}$

ในทำนองเดียวกัน: $\overline{D_2}=B\overline A$

ดังนั้น
$\begin{align} E&=\overline{D_1D_2}\\ &=\overline{D_1}+\overline{D_2}\\ &=A\overline B + B\overline A \end{align}$

ซึ่งเป็นนิยามของ XOR อย่างแม่นยำ คุณอาจย้อนกลับทั้งหมดนี้หากคุณต้องการเริ่มต้นจากข้อมูลเริ่มต้นแทนที่จะตรวจสอบคำตอบ

ค้นหาคำตอบที่ไม่มีความรู้ล่วงหน้า

สิ่งนี้มีจุดประสงค์เพื่อตอบคำขอที่ชัดเจนซึ่งถูกเพิ่มเป็นการแก้ไขคำถามเพื่อหาวิธีแก้ไขตั้งแต่เริ่มต้น เนื่องจากคำถามนั้นเกี่ยวกับกระบวนการคิดฉันจึงให้รายละเอียดทั้งหมด

$A$$B$

$\text{XOR}(A,B)=A\overline B + B\overline A\;$.

ดังนั้นเราสามารถลองเดาได้ว่าอินพุตแบบใดที่ประตูนี้จะสร้างเอาต์พุตที่ต้องการ

$\text{NAND}(X,Y)=\overline{XY}= \overline X+\overline Y\;$

การรวมสูตรสุดท้ายนี้กับผลลัพธ์ที่เราได้รับเราได้รับ:

• $\overline X=A\overline B\;$$X=\overline{A\overline B}=\overline A+B\;$.

• $Y=\overline{\overline A B}=A+\overline B\;$.

โปรดทราบว่านี่เป็นเพียงความเป็นไปได้ที่ง่ายที่สุด มีอินพุตอีกคู่หนึ่งที่จะให้ผลลัพธ์ที่ต้องการเพราะเราไม่ได้รวมกันในพีชคณิตอิสระเนื่องจาก NAND มีคุณสมบัติเท่าเทียมกัน แต่เราลองทำดู

$X$$Y$$A$$B$

เราสามารถลองทำซ้ำขั้นตอนการรวมกัน (ฉันทำ) แต่สิ่งนี้จะนำเราไปสู่การใช้ประตูเพิ่มอีกสี่บานซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหา 5 ประตู

$X$$Y$$Z$$A$$B$

$X$$Y$$Z$$A$$B$$A$$B$

$A$$B$

$Z=\text{NAND}(A,B)=\overline{AB}= \overline A+\overline B\;$

ตอนนี้เราต้องตรวจสอบว่าการรวม $Z$$A$$B$$X$$Y$

$A$$B$

มันง่ายที่จะตรวจสอบว่า

$\begin{align} \text{NAND}(Z,A)&=\overline{ZA}\\ &=\overline{\overline{AB}\;A}\\ &=\overline{(\overline A+\overline B)\;A}\\ &=\overline{\overline AA+\overline BA}\\ &=\overline{0+\overline BA}\\ &=\overline{\overline BA}\\ &=\overline{A\overline B}\\ &=X \end{align}$

เหมือนกับ $\text{NAND}(Z,B)=Y$

ดังนั้นเราสามารถเขียนสี่ประตูเหล่านี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการเช่นฟังก์ชัน XOR

ฉันรับอินพุต $(0,0)$ ตัวอย่างเช่น.

สำหรับ $\text{XOR}$ผลลัพธ์ที่ต้องการคือ 0 อย่างไรก็ตาม $\text{NAND}(0,0) = 1$.

• เพราะวิธีเดียวที่จะได้รับ 0 ใช้ $\text{NAND}$ คือ (ที่ชั้นสุดท้าย) $\text{NAND}(1,1) = 0$คุณควรผลิตสอง 1 ตัวก่อน

  • ตามที่ $\text{NAND}(0,1) = 1$ หรือ $\text{NAND}(1,0) = 1$คุณสร้าง 1 โดยใช้อันเดียว $\text{NAND}(0,0)$ ที่เลเยอร์แรกและป้อนพร้อมกับอินพุตหนึ่ง 0 เป็นเลเยอร์ที่สอง $\text{NAND}$.

สี่เท่านั้น $\text{NAND}$มีส่วนร่วม แต่มันถูกต้องสำหรับอินพุตเท่านั้น$(0,0)$จนถึงตอนนี้ ดังนั้นคุณต้องตรวจสอบอินพุตอื่น$(0,1), (1,0),$ และ $(1,1)$กับการแก้ปัญหาและพบว่ามันใช้งานได้ โชคดี.

ฉันพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อให้คำตอบโดยใช้สูตรตามที่ถามหวังว่าจะขอบคุณ
Z = AB '+ A'B
Z = AA' + AB '+ BB' + A'B ---> BB '= AA' = 0
Z = A (A '+ B') + B (B '+ A ')
Z = A (AB)' + B (AB) '-> คำแนะนำ
ดังนั้นตอนนี้ (AB)' สามารถผ่านประตู NAND ที่ 1 จากนั้นในประตู NAND ที่ 2 และที่สามเอาท์พุทของประตู NAND ที่ 1 ผ่านหนึ่ง อินพุตเป็น A และ B. หลังจากนี้เราจำเป็นต้องใช้ส่วนประกอบเพิ่มเติมเพื่อใช้เกต NAND ที่สี่
NAND (ที่ 1) = (AB) '= A' + B '
NAND (2nd) = (A (AB)') '= (A (A' + B '))' = (AB ')' = A '+ B
NAND (ที่ 3) = (B (AB) ')' = (B (A '+ B')) '= (A'B)' = A + B '
NAND (ที่ 4) = [(A' + B) (A + B ')]' = [A'B '+ AB]' = (A + B) (A '+ B') = AB '+ A'B

มีความสุข!

สูตร: XOR = (a และไม่ใช่ b) หรือ (ไม่ใช่ a และ b)

นั่นไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องการคุณต้องการสูตรที่เป็น NAND จำไว้ว่าไม่ใช่ (a หรือ b) = ไม่ใช่ a และไม่ b และดังนั้น (a หรือ b) = ไม่ (ไม่ใช่ a และไม่ใช่ b) ดังนั้น

(a และไม่ใช่ b) หรือ (ไม่ใช่ a และ b) =

ไม่ใช่ (ไม่ใช่ (a และไม่ใช่ b) และไม่ใช่ (ไม่ใช่ a และ b)) =

ไม่ ((ไม่ใช่ a หรือ b) และ (a หรือไม่ใช่ b)) =

NAND (ไม่ใช่ a หรือ b, a หรือไม่ใช่ b)

ดังนั้นเราจึงใช้เกท NAND หนึ่งอันและต้องคำนวณ (ไม่ใช่ a หรือ b) และ (a หรือไม่ b) โดยใช้ NAND สามตัว เราเปลี่ยนแต่ละนิพจน์เป็น NAND:

ไม่ใช่ a หรือ b = ไม่ (a และไม่ใช่ b) = NAND (a, ไม่ใช่ b)

a หรือไม่ b = not (ไม่ใช่ a และ b) = NAND (ไม่ใช่ a, b)

ตอนนี้เราสังเกตว่า (x และ y) = x และ (ไม่ใช่ x หรือ y): ถ้า x เป็นเท็จทั้งสองข้างจะเป็นเท็จ ถ้า x เป็นจริงดังนั้น (ไม่ใช่ x หรือ y) = (false หรือ y) = y สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับ NAND เช่นเดียวกับ AND ดังนั้น

NAND (a, not b) = NAND (a, ไม่ใช่ a หรือไม่ b) = NAND (a, NAND (a, b))

NAND (b, ไม่ใช่ a) = NAND (b, ไม่ใช่ b หรือไม่ใช่ a) = NAND (b, NAND (a, b))

ดังนั้นเราจึงหา mid = NAND (a, b), left = NAND (a, mid) และ right = NAND (b, mid), สุดท้าย XOR = NAND (ซ้าย, ขวา)

* จากซ้ายไปขวา - D1, D2, D3, D4 ** D1 = (AB) 'หรือ (A' + B ')

สมมติ

(AB) '= C

D2 = (AC) '= A' + C'

D3 = (BC) '= B' + C 'จากนั้น

D4 = (D2.D3)'

D4 = ((AC)'. (BC) ')'

D4 = (AC) '' + (BC) ''

D4 = (AC) + (BC)

D4 = a. (A + B ') + บี (A + B')

D4 = AB '+ BA' {A.A '= B.B' = 0} **