คุณพิจารณาจำนวนข้อผิดพลาดในอัลกอริทึม Welch-Berlekamp อย่างไร

ในอัลกอริทึม Welch-Berlekamp สำหรับการถอดรหัสรหัส Reed-Solomon หนึ่งจะได้รับรายการของจุดแสดงถึงข้อความที่มีข้อผิดพลาดในในสถานที่ที่ไม่รู้จัก (และมอบให้กับอัลกอริทึม) ผลลัพธ์คือพหุนามผ่านจุดที่กำหนดทั้งหมดยกเว้นที่เกิดข้อผิดพลาด$(a_i, b_i)$$e$$b_i$$e$

วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นของแบบฟอร์ม

สำหรับทุกที่มีปริญญาและมีการศึกษาระดับที่มากที่สุด k ตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของและQ$i$$E$$e$$Q$$e+k$$E$$Q$

เพื่อให้แน่ใจว่ามีระดับหนึ่งมักจะเพิ่มข้อ จำกัด ที่สัมประสิทธิ์ของเป็น 1 กับระบบเชิงเส้นด้านบน แต่ในทางปฏิบัติอย่างใดอย่างหนึ่งไม่จำเป็นต้องรู้ว่าอีวิธีหนึ่งที่ไม่มีประสิทธิภาพ (แต่ยังคงเป็นพหุนาม) วิธีที่จะจัดการกับสิ่งนี้คือลองสำหรับค่าทั้งหมดที่เริ่มต้นด้วยจะลดลงจนกว่าจะพบวิธีแก้ปัญหา$E$$e$$x^e$$e$$e$$(n+k-1)/2 - 1$

คำถามของฉันคือ: มีวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นเพื่อกำหนด ? $e$อีกวิธีหนึ่งมีการปรับเปลี่ยนระบบเชิงเส้นที่อนุญาตให้หนึ่งใช้ขอบเขตบนบนแทนค่าที่แน่นอน?$e$

โดยเฉพาะฉันต้องการใช้ตัวถอดรหัสนี้สำหรับรหัส Reed-Solomon และไม่ใช่อัลกอริทึมที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงตามเทคนิคอื่น ๆ

เพื่อตอบสนองต่อคำตอบของ DW นี่คือตัวอย่างการทำงานของฉัน ทุกอย่างเสร็จสิ้นแบบโมดูโล 7

plain message is: [2, 3, 2]
polynomial is: 2 + 3 t^1 + 2 t^2
encoded message is: [[0, 2], [1, 0], [2, 2], [3, 1], [4, 4]]
corrupted message is: [[0, 2], [1, 0], [2, 3], [3, 1], [4, 4]]

ดังนั้นข้อผิดพลาดอยู่ในจุดที่สาม

เมื่อสมการพหุนามมีปัญหา$e=2$

และการเสียบให้ระบบในรูปแบบเมทริกซ์:$x = 0,1,2,3,4$

[2, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 6, 6, 6, 6, 6, 0]
[3, 6, 5, 6, 5, 3, 6, 5, 0]
[1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 0]
[4, 2, 1, 6, 3, 5, 6, 3, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]

แถวสุดท้ายเป็นข้อ จำกัด ที่1 ใช้การกำจัดแบบเกาส์เราได้$e_2 = 1$

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 5]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 5, 2]

และเลือก 1 สำหรับตัวแปรอิสระทั้งคู่ที่เราได้เวกเตอร์ของ

[2, 2, 1, 4, 1, 0, 1, 1]

ซึ่งแปลว่า

E is 2 + 2 t^1 + 1 t^2
Q is 4 + 1 t^1 + 0 t^2 + 1 t^3 + 1 t^4

และไม่ได้แบ่งQโปรดทราบว่าปัจจัยเป็น$E$$Q$$Q$$(t + 6) (t^3 + 2t^2 + 2t + 3) \mod 7$

สำหรับฉันได้คำตอบที่ดี:$e=1$

system is:    
[2, 0, 6, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 6, 6, 6, 6, 0]
[3, 6, 6, 5, 3, 6, 0]
[1, 3, 6, 4, 5, 1, 0]
[4, 2, 6, 3, 5, 6, 0] 
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]

reduced system is:

[1, 0, 0, 0, 0, 0, 5]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 3]
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 3]
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 6]
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 2]

solution is [5, 1, 3, 3, 6, 2]
Q is 3 + 3 t^1 + 6 t^2 + 2 t^3
E is 5 + 1 t^1
P(x) = 2 + 3 t^1 + 2 t^2 # this is correct!
r(x) = 0

โปรดทราบว่าในขณะที่ตัวอย่างโค้ดด้านบนสร้างขึ้นโดยรหัสที่ฉันเขียนตั้งแต่เริ่มแรก (โดยพื้นฐานแล้วเป็นสิ่งแรกที่ฉันลอง) แต่สามารถตรวจสอบวิธีแก้ไขได้ด้วยมือดังนั้นแม้ว่ารหัสของฉันจะเป็นรถก็ยังเป็นตัวอย่างที่ถูกต้อง ว่าการใช้งาน$e=2$

ขั้นตอนเดียวกันใช้งานได้จริงในการแก้ไขจำนวนข้อผิดพลาดใด ๆ ขึ้นไปอี$e$

ความต้องการคือข้อผิดพลาดพหุนามจะต้องเป็นศูนย์ทุกจุดซึ่งมีข้อผิดพลาด ไม่มีอะไรบอกว่ามันจะต้องเป็นศูนย์ในจุดเหล่านั้นเท่านั้น คุณสามารถมีที่เป็นศูนย์ที่จุดอื่น ๆ ด้วยและที่ตกลงของตราบใดที่การศึกษาระดับปริญญาของมันคืออี$E(x)$$a_i$$E(x)$$e$

ดังนั้นถ้าเป็นขอบเขตบนของจำนวนข้อผิดพลาดจะมีพหุนามมีคุณสมบัติที่ต้องการทั้งหมด (เช่นมีองศาที่แน่นอนและเป็นศูนย์ในทุกจุดที่มีข้อผิดพลาด) ตัวอย่างเช่นถ้ามีน้อยกว่าข้อผิดพลาดแล้วมีอยู่พหุนามว่าเป็นศูนย์ในทุกข้อผิดพลาดและเป็นศูนย์ที่จุดมากขึ้นไม่กี่คนที่ได้รับหมายเลขของศูนย์ถึงว่าอี$e$$E(x)$$e$$e$$E(x)$$e$

ในที่สุดทฤษฎีความถูกต้องบอกว่าถ้ามีพหุนามอยู่แล้วดังนั้นอัลกอริทึม Berlekamp-Welch จะสามารถค้นหาได้ ดังนั้นแม้ว่าจะมีน้อยกว่า ข้อผิดพลาดที่ขั้นตอนที่จะยังคงทำงานได้อย่างถูกต้องเพื่อแจ้ง(x) เมื่อคุณมีคุณสามารถระบุตำแหน่งของที่ปราศจากข้อผิดพลาดจากนั้นคุณสามารถถอดรหัสได้อย่างตรงไปตรงมา$E(x)$$e$$E(x)$$E(x)$$n-e$

หากต้องการบันทึกผลลัพธ์ของการสนทนาเกี่ยวกับ "counterexample" ในคำถาม:

นั่นเป็นตัวอย่างที่ไม่ถูกต้อง ข้อบกพร่องในการคำนวณจำนวนข้อผิดพลาดที่คุณควรคาดหวังให้ Berlekamp-Welch สามารถแก้ไขได้ ระยะทางคือดังนั้นคุณควรคาดหวังว่ามันจะสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดได้สูงสุด (ตามที่ Ran G. ชี้ให้เห็น) ใน counterexample คุณและดังนั้นดังนั้นคุณควรคาดหวังว่าขั้นตอนนี้จะสามารถที่จะผิดพลาดอย่างใดอย่างหนึ่งที่ถูกต้องคือ 1 ดังนั้นเมื่อคุณรันโพรซีเดอร์บนตัวอย่างที่มีไม่มีเหตุผลที่จะคาดว่าโพรซีเดอร์จะทำงานอย่างถูกต้อง$n-k+1$$(n-k)/2$$n=5$$k=3$$(n-k)/2=1$$e=1$$e=2$

ดังนั้น counterexample ไม่ใช่ตัวอย่าง counter จริงและมันไม่ขัดแย้งกับคำตอบของฉันด้านบน