Minimal Spanning Tree พร้อมพารามิเตอร์น้ำหนักสองเท่า

พิจารณากราฟE) ขอบแต่ละมีสองน้ำหนักและB_eค้นหาต้นไม้ทอดที่ช่วยลดสินค้าขวา) อัลกอริทึมควรทำงานในเวลาพหุนามเกี่ยวกับ.$G(V,E)$A e B e ( ∑ e ∈ T A e ) ( ∑ e ∈ T B e ) | V | , | E $e$$A_e$$B_e$$\left(\sum_{e \in T}{A_e}\right)\left(\sum_{e \in T}{B_e}\right)$$|V|, |E|$

ฉันคิดว่ามันยากที่จะปรับแต่งอัลกอริธึมดั้งเดิมใด ๆ บนต้นไม้ที่ทอด (Kruskal, Prim, Edge-Deletion) วิธีแก้ปัญหา คำใบ้ใด ๆ

ฉันจะสมมติว่าคุณไม่ได้รับน้ำหนักถ่วงลบเนื่องจากอาจไม่ทำงานหากมีน้ำหนักเป็นลบ

ขั้นตอนวิธี

สำหรับแต่ละขอบของคุณให้ระบุถึง$1$$n$

ปล่อยน้ำหนัก A ของจำนวนขอบ$a_i$$i$

ให้น้ำหนัก B ของหมายเลขขอบ$b_i$$i$

วาดตารางนี้

   |a_1 a_2 a_3 a_4 .. a_n
---+-------------------------
b_1|.........................
b_2|.........................
 . |.........................
 . |.........................
b_n|...................a_n * b_n

ด้วยองค์ประกอบแต่ละตารางเป็นผลิตภัณฑ์ของแถวและคอลัมน์

สำหรับแต่ละขอบให้รวมแถวของตารางและคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง (และอย่าลืมลบองค์ประกอบในสี่แยกเนื่องจากรวมสองครั้ง)

ค้นหาขอบที่มีผลรวมมากที่สุดลบขอบนี้หากไม่ตัดการเชื่อมต่อกราฟ ทำเครื่องหมายที่ขอบเป็นสิ่งจำเป็น หากขอบถูกลบให้เติมแถวและคอลัมน์ด้วย 0

ความถูกต้อง

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์เป็นต้นไม้

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์มีการทอดเนื่องจากไม่มีการตัดการเชื่อมต่อ

ผลที่ได้คือน้อยที่สุด? หากมีขอบอีกอันที่มีการลบจะสร้างทรีสแปนขนาดเล็กที่ท้ายอัลกอริธึมขอบนั้นจะถูกลบและถูกลบทิ้งก่อน (ถ้าใครบางคนสามารถช่วยฉันทำตัวอย่างนี้ให้เข้มงวดมากขึ้น / และ / หรือตัวนับแล้วนั่นจะยอดเยี่ยม)

Runtime

เห็นได้ชัดว่าพหุนามใน.$|V|$

แก้ไข

$(2,11), (11,2), (4,6)$คือไม่ได้เป็นตัวอย่างที่เคาน์เตอร์

$a_1 = 2, a_2 = 11, a_3 = 4$

$b_1 = 11, b_2 = 2, b_3 = 6$

แล้วก็

   | 2     11     4
---+--------------------
11 | 22    121    44
 2 | 4     22     8
 6 | 12    66     24

$(11,2)$ถูกลบออก

จบลงด้วย$(2,11), (4,6) = 6 * 17 = 102$

ต้นไม้ทอดอื่น ๆ

$(11,2), (4,6) = 15 * 12 = 180$

$(2,11), (11,2) = 13 * 13 = 169$

นี่คือวิธีการแก้ปัญหาจากhttp://www.cnblogs.com/autsky-jadek/p/3959446.html

เราสามารถดูต้นไม้ที่ทอดได้ทุกจุดในโดยที่คือผลรวมของน้ำหนัก , y คือผลรวมของน้ำหนักE} มีเป้าหมายที่จะลดความเซ็กซี่$x-y$$x$$\sum_{e\in T}A_{e}$$\sum_{e\in T}B_{e}$$xy$

1. ค้นหาต้นไม้ขั้นต่ำทอดตามน้ำหนักและน้ำหนักBดังนั้นเราจึงมีสองจุดในระนาบ XY B ในทุกจุดซึ่งประกอบไปด้วยต้นไม้ในเครื่องบิน, มีขั้นต่ำ ,มีขั้นต่ำปี$A$$B$$A,B$$A$$x$$B$$y$

2. ตอนนี้เรามุ่งมั่นที่จะหาจุดในรูปสามเหลี่ยมที่มีระยะทางสูงสุดกับสายเพื่อให้เราสามารถมีค่าสำหรับลดลงสำหรับทุกจุดในสามเหลี่ยมABC$C$$OAB$$AB$$xy$$C$$ABC$

เนื่องจาก{y})$2S_{ABC}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y})\times(C_{x}-A_{x},C_{y}-A_{y})=(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}-A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y})$

3. ขอให้สังเกตว่าเป็นค่าคงที่ดังนั้นตอนนี้เราจึงมุ่งมั่นที่จะเพิ่มดังนั้นเราจึงสร้างกราฟใหม่ในขณะที่น้ำหนักตอนนี้เรารันต้นไม้ทอดสูงสุดบนจะได้รับจุดC$A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y}$$(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}$$G^{\prime}=(V,E)$$w(e)=B_{e}(B_{x}-A_{x})+C_{x}(A_{y}-B_{y})$$G^{\prime}$$C$

4. เรียกใช้ขั้นตอนวิธีการข้างต้นในซ้ำจนกว่าจะมีไม่มากต้นไม้ระหว่างทอดและO$OBC, OAC$$BC,AC$$O$

5. ตอนนี้เราได้ชุดต้นไม้ทอดที่เป็นไปได้ คำนวณค่าสำหรับต้นไม้แต่ละต้นเพื่อรับต้นไม้ขั้นต่ำ$xy$