การเขียนคำใหม่ คำนวณคู่ที่สำคัญ

ฉันพยายามที่จะแก้ปัญหาการออกกำลังกายต่อไปนี้ แต่ฉันก็ติดในขณะที่พยายามหาคู่ที่สำคัญทั้งหมด

ฉันมีคำถามต่อไปนี้:

1. ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าคู่วิกฤตินั้นสร้างกฎใหม่
2. ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าฉันพบคู่ที่สำคัญทั้งหมดแล้ว

ปล่อย $\Sigma= \left \{ \circ, i, e \right \}$ ที่ไหน $\circ$ เป็นไบนารี $i$ เป็นเอกภาพและ $e$ เป็นค่าคงที่

$$E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \end{gather} \right\}$$

งานของฉันจนถึงตอนนี้:

1. $x\circ e >_{\textsf{lpo}} x$   (LPO 1)   $x$ เป็นตัวแปร
   
   $x\circ i(x)>_{\textsf{lpo}} e$   (LPO 2b) ไม่มีข้อกำหนดอยู่ทางด้านขวามือ
   
   $(x\circ y)\circ z\approx x\circ(y\circ z)$
   
   $s=\circ(\underset{\large s_1}{\circ(x,y)},\underset{\large s_2}{\strut z})\qquad t=\circ (\underset{\large t_1}{x\strut}, \underset{\large t_2}{\circ(y,z)})$     (LPO 2c)
   
   

   • ตรวจสอบว่า $s>t_j$, $j=\overline{1,m}$
     
     $s>_{\textsf{lpo}}t_1$     (LPO 1)
     
     เพื่อพิสูจน์ว่า$s>_{\textsf{lpo}}t_2$ (LPO 2c) เราพิสูจน์ได้ว่า $$s>_{\textsf{lpo}} y \;\;\text{(LPO 1)};\qquad s>_{\textsf{lpo}}z \;\;\text{(LPO 1)};\qquad \circ(x,y)>y\;\;\text{(LPO 1)}$$
   • หา $i$ ดังนั้น $s_i>_{\textsf{lpo}}t_i$     $i=1$ $$\circ(x,y)>_{\textsf{lpo}}x\;\;\text{(LPO 1)}$$

   $(x\circ y)\circ z>_{\textsf{lpo}} x\circ (y\circ z)$
   
   

2. a. $(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$
   
   $x_1\circ e\;\rightarrow\; x_1$
   
   $x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ e$
   
   $\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;e\}$

   $$\require{AMScd} \require{cancel} \begin{CD} (x_1\circ e)\circ z @>>> \cancel{x_1}\circ z\\ @VVV @VVV\\ \cancel{x_1}\circ(e\circ z) @>>> e\circ z\approx z \end{CD}\qquad\text{left identity?}$$
   b c $(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$
   
   $e\circ x_1\;\rightarrow\; x_1$
   
   $x\circ y \mathrel{\,=?\,} e\circ x_1$
   
   $\theta\{x \;\leftarrow \;e;\; y\;\leftarrow \;x_1\}$ $$\begin{CD} (e\circ x_1)\circ z @>>> x_1\circ z\\ @VVV @VVV\\ e\circ(x_1\circ z) @>>> ? \end{CD}$$
   $(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$
   
   $x_1\circ i(x_1)\;\rightarrow\; e$
   
   $x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ i(x_1)$
   
   $\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;i(x_1)\}$ $$\begin{CD} (x_1\circ i(x_1))\circ z @>>> e\circ z\\ @VVV @VVV\\ x_1\circ(i(x_1)\circ z) @>>> ? \end{CD}$$
   

ในฐานะที่เป็นเอกสารสนับสนุนฉันมี"การเขียนซ้ำระยะและสิ่งนั้น"โดย Franz Baader และ Tobias Nipkow

( ภาพต้นฉบับที่นี่ )

EDIT1

หลังจากค้นหาคู่ที่สำคัญฉันมีชุดของกฎต่อไปนี้ (สมมติว่า 2.a คือ corect):

$$E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \\ x \circ (i(x) \circ y) \approx y \\ x \circ ( y \circ i(x \circ y) ) \approx e \\ e \circ x \approx x \\ e \circ (x \circ y) \approx x \circ y \end{gather} \right\}$$

ก่อนที่จะตอบคำถามที่เกิดขึ้นจริงหนึ่งข้อสังเกตเกี่ยวกับงานของคุณจนถึงตอนนี้: การยกเลิกทางด้านซ้ายใน 2.a ไม่ถูกต้องโดยทั่วไปคู่ที่สำคัญก็จะเป็นZ ดังนั้นคุณจะไม่ได้รับคู่ที่สำคัญ 2.b. ปัญหาของการยกเลิกนี้คือสมการที่คุณได้รับนั้นโดยทั่วไปไม่ได้ติดตามจากสัจพจน์ที่คุณเริ่มต้น ตัวอย่างเช่นหากคุณกำลังทำงานในภาษาของวงคุณอาจจะได้รับคู่ที่สำคัญแต่มันจะไม่ถูกต้องที่จะอนุมาน (ซึ่งหมายความว่าคุณมีเพียง แบบจำลองเล็กน้อย) ไม่มีขั้นตอนการเขียนใหม่เสียงรวมถึง Huet ควรอนุญาตให้มีการลดลงนี้$x\circ(e\circ z) \approx x\circ z$$0*x \approx 0*y$$x\approx y$

ในทางกลับกันคุณจะหายไปจากคู่ที่สำคัญที่คุณได้รับโดยการรวม (รุ่นที่เปลี่ยนชื่อตัวแปร)หรือกับทั้งหมดของ (เช่นการใช้ วินาที ) คู่วิกฤติที่เกิดขึ้นคือ$x\circ e$$x\circ i(x)$$(x\circ y)\circ z$$\circ$

• $x\circ(y\circ e)\leftarrow (x\circ y)\circ e\to x\circ y$ซึ่งหลังจากการลดกลายเป็นสมการที่น่ารำคาญและ$x\circ y\approx x\circ y$
• $x\circ(y\circ i(x\circ y))\leftarrow(x\circ y)\circ i(x\circ y)\to e$ซึ่งไม่สามารถลดลงได้อีกและให้กฎ (สมมติว่าในลำดับความสำคัญใช้เพื่อกำหนด LPO เช่นเดียวกับที่คุณทำเมื่อปรับทิศทาง )$x\circ(y\circ i(x\circ y))\to e$$\circ\triangleright e$$\triangleright$$x\circ i(x)\approx e$

สำหรับขั้นตอนเสร็จสิ้นขั้นพื้นฐาน:

1. เมื่อใดก็ตามที่คุณสร้างคู่ที่สำคัญคุณจะลดทั้งสองด้านเท่าที่จะทำได้โดยใช้ชุดของกฎปัจจุบัน หากฟอร์มปกติที่ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากันคุณสร้างกฎใหม่ ตัวอย่างเช่น 2.c ของคุณ ให้กฎใหม่Z ในทางกลับกันการรวมกับให้คู่วิกฤติซึ่งสามารถลดลงได้เล็กน้อยและถูกละทิ้ง$x\circ(i(x)\circ z)\to e\circ z$$(x\circ y)\circ z$$x_1\circ y_1$$(x\circ y)\circ(z\circ z_1)\leftarrow((x\circ y)\circ z)\circ z_1\to(x\circ(y\circ z))\circ z_1$$x\circ(y\circ(z\circ z_1))\approx x\circ(y\circ(z\circ z_1))$
2. เมื่อใดก็ตามที่คุณสร้างกฎใหม่คุณจะต้องพิจารณาคู่ที่สำคัญทั้งหมดระหว่างมันกับกฎที่มีอยู่ตรวจสอบ unifiability ของกับแต่ละ subterm ที่ไม่ใช่ตัวแปรของและ ในทางกลับกัน นอกจากนี้อย่าลืมตรวจสอบการทับซ้อนด้วยตนเองเช่น unifiability ของกับ subterms ของตัวเองดังที่เราได้ทำการเชื่อมโยง คุณหยุดเฉพาะเมื่อคู่ที่สำคัญทั้งหมดของกฎที่มีอยู่ได้รับการตรวจสอบและสร้างกฎใหม่หรือถูกยกเลิก$l\to r$$l_1\to r_1,\dots,l_n\to r_n$$l$$l_i$$l$

ขั้นตอนนี้สามารถปรับปรุงได้ไม่น้อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสามารถใช้กฎใหม่เพื่อทำให้กฎเก่าง่ายขึ้น (และอาจละทิ้งกฎเหล่านั้นหากพวกเขากลายเป็นเรื่องไม่สำคัญซึ่งหมายความว่ากฎเหล่านั้นถูกรวมเข้ากับกฎใหม่) และฮิวริสติกที่ดีสำหรับการเลือกคู่วิกฤติครั้งต่อไป ปริมาณของกฎ