พหุนามสีของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

11

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD สำหรับผมแล้วมันดูเหมือนว่าพหุนามรงค์สีที่มีสีอยู่ .. $\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$ $\lambda$

นั่นคือวิธีซึ่งสีสำหรับ A สามารถเลือกได้มีวิธีสำหรับสีสำหรับ B และ D ที่จะเลือก (B และ D อยู่ติดกับ A) และวิธีสำหรับสี สำหรับ C ที่จะถูกเลือก $\lambda$ $\lambda - 1$ $\lambda - 2$

อย่างไรก็ตามการใช้ทฤษฎีการสลายตัว (สไลด์ 47, ตัวอย่าง 11.33) และการย่อยสลายสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นเส้นทางที่มีความยาว 3 และสามเหลี่ยมแสดงให้เห็นว่าการให้เหตุผลเบื้องต้นของฉันผิด

คุณช่วยบอกฉันได้ไหมว่าฉันกำลังคิดผิดอยู่ที่ไหน

graph-theory colorings

— Abhijith Madhav
แหล่งที่มา

8

คุณต้องจำไว้ว่าจุดยอดในแนวทแยงมุมจากกันสามารถเป็นสีเดียวกัน! สูตรของคุณไม่ได้คำนึงถึงเรื่องนั้น เราสามารถหาจำนวนสีของกราฟผ่านหลักการรวมการแยก มันเป็นเทคนิคการนับทั่วไปที่ช่วยให้เราสามารถนับโครงสร้างที่ซับซ้อนได้หากเราสามารถพิสูจน์ขอบเขตบางอย่างบนเซตย่อยบางอย่างได้

แนวคิดหลักคือเรานับวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ทรัพย์สินเกิดขึ้น จากนั้นเราจะลบบางรายการที่ "ไม่ดี" ออก อย่างไรก็ตามเราอาจลบออกมากเกินไปและจำเป็นต้องเพิ่มบางรายการที่ "ดี" กลับมา สิ่งนี้จะไปเรื่อย ๆ จนกว่าเราจะผ่านส่วนย่อยทั้งหมด

หลักการที่ไม่รวมเข้าด้วยกันบอกเราว่าได้รับชุดพื้นฐานบางอย่าง , จำนวนองค์ประกอบของซึ่งอยู่ในชุดย่อยคือ $|X|=n$ $X$ $A_i$

\sum_{I \subseteq [n]} (- 1)^{| I |} | A_{I} |, where I is the set of indices in X and A_{I} = ⋂_{i \in I} A_{i}

$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$

ให้เป็นหมายเลขของสีและให้เป็นชุดของสีเป็นไปได้ทั้งหมด (เช่น ) และให้ $\lambda$ $X$ $|X| = \lambda^4$

A_{e} = {coloring : e = (i, j) \in E, color (i) = color (j)}

$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$

ก่อนที่เราจะได้พหุนามสุดท้ายเราต้องนับขนาดของเซตและขนาดของเซตย่อยที่ตัดกันทั้งหมด $A_{e}$

สังเกตว่า 3นี่คือความจริงที่ว่าเราเป็นเพียงการระบายสีแต่มักจะเลือกสีเดียวกันสำหรับจุดยอดใกล้เคียง ก้าวไปข้างหน้าเรามี $|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$ $G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

ฉันจะไม่แสดงรายการ 3 ชุด แต่พวกเขาทั้งหมดมีจำนวนเท่ากัน λและสุดท้าย λตอนนี้ให้รวบรวมเงื่อนไขของเราและเพิ่มขึ้น $|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$ $|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + λ = λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 3 λ

$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$

ทีนี้การนับด้วยการแยกรวมสำหรับปัญหานี้ก็ไม่ได้เลวร้ายนักเพราะเรามี 4 รอบอย่างง่าย หากกราฟมีโครงสร้างที่มากกว่านั้นมันจะน่ารำคาญอย่างรวดเร็วที่จะหาขนาดของแต่ละทางแยกสำหรับทางแยกที่เป็นไปได้ทั้งหมด

— Nicholas Mancuso
แหล่งที่มา

2

คำตอบโดยนิโคลัสดังกล่าวข้างต้นและหนึ่งในนี้ช่วยให้ผมเห็นข้อบกพร่องในความคิดของฉัน ฉันคิดว่าจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับ Nicholas

คุณต้องจำไว้ว่าจุดยอดในแนวทแยงมุมจากกันสามารถเป็นสีเดียวกันได้

และยังได้พหุนามรงค์ด้วยการปรับเพื่อเหตุผลที่ผิดของฉัน

$\lambda - 2$ $\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$
$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$

— Abhijith Madhav
แหล่งที่มา