อัลกอริทึมเพื่อลดพื้นที่ผิวปริมาณที่กำหนด

พิจารณางานอัลกอริทึมต่อไปนี้:

อินพุต: จำนวนเต็มบวกพร้อมกับการแยกตัวประกอบเฉพาะของการ ค้นหา: จำนวนเต็มบวกที่ลดขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด ที่x , y , z x y + y z + x z x y z = $n$
$x,y,z$$xy+yz+xz$$xyz=n$

ความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร? มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามหรือไม่? มันเป็น NP-hard หรือไม่?

ปัญหานี้ถามโดยทั่วไปว่า: จากของแข็งที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดที่มีปริมาตรเป็นและมิติใดเป็นจำนวนเต็มทั้งหมดอันใดที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด$n$

ปัญหานี้เกิดขึ้นจาก Dan Meyer ภายใต้ชื่อThe Problem Problem ที่อาจารย์คณิตศาสตร์ 1,000 คนไม่สามารถแก้ไขได้ จนถึงขณะนี้ไม่มีครูคณิตศาสตร์ที่เขาทำงานด้วยได้พบอัลกอริทึมที่เหมาะสมสำหรับปัญหานี้ ในบริบทของเขานิยามของ "สมเหตุสมผล" นั้นไม่ชัดเจนนัก แต่ในฐานะนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เราสามารถถามคำถามที่แม่นยำยิ่งขึ้นเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหานี้

วิธีที่ชัดเจนคือการแจกแจงความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับแต่ต้องใช้เวลาชี้แจง ผู้แสดงความคิดเห็นที่บล็อกของ Dan Meyer ได้เสนออัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพมากมายซึ่งน่าเสียดายที่ทุกอย่างไม่ถูกต้อง Martin Strauss แนะนำว่าปัญหานี้ดูเหมือนจะชวนให้นึกถึง3 พาร์ติชันแต่ฉันไม่เห็นการลดลง$x,y,z$

ให้ฉันล้างความเข้าใจผิดบางอย่างที่ฉันเห็นในข้อคิดเห็น / คำตอบด้วย:

• คุณไม่สามารถลดจาก 3 พาร์ติชันได้โดยเพียงแค่แทนที่แต่ละหมายเลขด้วยกำลังของมันเนื่องจากฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาทั้งสองนั้นแตกต่างกัน การลดที่ชัดเจนนั้นไม่ได้ผล2 $q$$2^q$

• มันไม่เป็นความจริงว่าการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดที่เกี่ยวข้องกับการเลือกหนึ่งของจะเป็นตัวหารที่ใกล้ที่สุดของจะ{n} ฉันเห็นคนหลายคนที่สมมติว่าเป็นกรณีนี้ แต่ที่จริงแล้วมันไม่ถูกต้อง สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในการโพสต์บล็อก Dan Meyer ตัวอย่างเช่นพิจารณา ; และ 4 หาร 68 ดังนั้นคุณอาจคิดว่าอย่างน้อยหนึ่งในควรเป็น 4; อย่างไรก็ตามนั่นไม่ถูกต้อง ทางออกที่ดีที่สุดคือ , , Zตัวอย่างอีกตัวอย่างคือ ,แต่ทางออกที่ดีที่สุดคือn 3 $x,y,z$$n$ n=683$\sqrt[3]{n}$$n=68$x,y,zx=2y=2z=17n=2223$\sqrt[3]{68} \approx 4$$x,y,z$$x=2$$y=2$$z=17$$n=222$x=$\sqrt[3]{222}\approx 6$$x=37$ , , 2 ( อาจเป็นความจริงที่ว่าสำหรับทั้งหมดทางออกที่ดีที่สุดเกี่ยวข้องกับการทำอย่างน้อยหนึ่งในเท่ากับตัวหารที่เล็กที่สุดของใหญ่กว่าหรือตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของเล็กกว่า กว่า - ฉันไม่มีตัวอย่างตอบโต้ตอนนี้ - แต่ถ้าคุณคิดว่าข้อความนี้เป็นจริงมันต้องได้รับการพิสูจน์คุณไม่สามารถสรุปได้เลยว่ามันเป็นเรื่องจริง)z = $y=3$$z=2$x , y , z n 3 $n$$x,y,z$$n$$\sqrt[3]{n}$ 3 $n$$\sqrt[3]{n}$

• "ทำให้มีขนาดเท่ากัน" ไม่ปรากฏว่าจำเป็นต้องให้คำตอบที่เหมาะสมในทุกกรณี ดูโพสต์บล็อกของ Dan Meyer สำหรับตัวอย่าง หรืออย่างน้อยสำหรับการตีความที่สมเหตุสมผลของวลี "ทำให้พวกเขามีขนาดเท่ากัน" มีตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่ากลยุทธ์นี้ไม่เหมาะสมจริง หากคุณต้องการลองใช้กลยุทธ์ของการเรียงลำดับนั้นตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณระบุการอ้างสิทธิ์อย่างถูกต้องแล้วแสดงหลักฐานทางคณิตศาสตร์อย่างระมัดระวัง$x,y,z$

• เวลาทำงานของไม่ใช่พหุนาม สำหรับปัญหานี้จะอยู่ใน P, เวลาทำงานจะต้องเป็นพหุนามในความยาวของการป้อนข้อมูล ความยาวของการป้อนข้อมูลเป็นสิ่งที่ต้องการไม่nอัลกอริธึมแรงเดรัจฉานที่เห็นได้ชัดสามารถถูกเรียกใช้ในเวลาหรือแต่เป็นเลขชี้กำลังในและนับเป็นอัลกอริธึมแบบเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล ดังนั้นจึงไม่เป็นประโยชน์lg n n O ( n 3 ) O ( n 2 ) lg $O(n^3)$$\lg n$$n$$O(n^3)$$O(n^2)$$\lg n$

นี่คืออัลกอริทึม "เลือกตัวหารใกล้กับรูตคิวบ์" ที่ได้รับการแก้ไข มันยังคงต้องเดรัจฉานบังคับหลาย ๆ กรณีดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่าการปรับปรุงจริงมากแค่ไหนที่เป็นความเร็วที่ฉลาดกว่าการนับทุกกรณี อย่างไรก็ตามฉันส่งมันเป็นการแก้ไขอัลกอริทึมใน OEIS (ซึ่งสร้างผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง) เพราะฉันเชื่อว่าควรมีความถูกต้องอย่างน้อย

นี่คืออัลกอริทึมในการค้นหา (s1, s2, s3) และพื้นที่ผิวของปริซึมสี่เหลี่ยมที่กำหนดโดยปริมาตร n:

1. ได้รับ n หารูทคิวบ์
2. ตั้งค่าจำนวนเต็มค่าเริ่มต้น s1 ที่เพดานของคิวบ์รูทนั้น
3. ทดสอบเพื่อดูว่า s1 เป็นตัวหารของ n หรือไม่และลด s1 ด้วย 1
4. หากพบตัวหาร s1 ให้ตั้งค่า s2 เริ่มต้นเป็นเพดานของสแควร์รูทของ (n / s1)
5. จากนั้นทดสอบเพื่อดูว่า s2 เป็นตัวหารของ n / s1 หรือไม่และถ้าไม่ให้ลด s2 ด้วย 1
6. เมื่อพบตัวหาร s2, s3 จะถูกตั้งค่าเป็น n / (s1 * s2)
7. พื้นที่ผิวปัจจุบันถูกคำนวณโดย 2 * (s1 * s2 + s1 * s3 + s2 * s3)
8. SA ปัจจุบันเทียบกับค่าต่ำสุดในปัจจุบัน หากคำนวณพื้นที่ผิวแรกมันจะถูกเก็บเป็น minSA หลังจากที่แรกเราทดสอบเพื่อดูว่า SA ปัจจุบันมีขนาดเล็กกว่า minSA และถ้าเป็นเช่นนั้นเก็บไว้ใน minSA

อัลกอริทึมนี้แจกแจงบางส่วนของสามอย่าง (s1, s2, s3) แต่ต้องการเพียงเพื่อทดสอบตัวหารภายใต้รูตคิวบ์ (เนื่องจากตัวหารทั้งสามไม่สามารถอยู่เหนือรูทคิวบ์) ในลักษณะที่คล้ายกัน s2 ต้องการเพียงการทดสอบตัวหารของ n / s1 ภายใต้สแควร์รูทของ n / s1 เนื่องจากตัวหารทั้งสองไม่สามารถอยู่เหนือสแควร์รูทได้)

หมายเหตุในขั้นตอนที่ 3: ถ้ารูทคิวบ์เป็นตัวหาร n จะเป็นคิวบ์และเราสามารถหยุดที่นั่นด้วยพื้นที่ผิวที่น้อยที่สุด 6 * s1 ^ 2 จากกล่อง (s1, s1, s1)

งูหลาม:

import math
def minSArectprism(n):
    s1_0 = int(math.ceil(n ** (1 / 3.0))) 
    minSA=-1
    s1 = s1_0
    while s1>=1:
        while n % s1 > 0:  
            s1 = s1 - 1
        s1quot = int(n/s1) 
        s2_0 = int(math.ceil(math.sqrt(n/s1)))
        s2 = s2_0
        while s2>=1:
            while s1quot % s2 > 0:
                s2 = s2 - 1
            s3 = int(n / (s1 * s2))  
            SA = 2*(s1*s2 + s1*s3 + s2*s3)  
            if minSA==-1:
                minSA=SA
            else:
                if SA<minSA:
                    minSA=SA
            s2 = s2 - 1
        s1 = s1 - 1    
    return minSA

$k$

$\log(x), \log(y), \log(z)$$n$

• ปัญหาที่ง่ายที่สุด: การแบ่งพาร์ติชั่น / Mertens

• การแบ่งพาร์ติชันแบบหลายทาง / Korf

แก้ไข

นี่คืออาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นทางการสำหรับสาเหตุที่อัลกอริทึมแบบเร็วไม่น่าจะมีอยู่ ประโยคนั้นไม่ได้เปลี่ยนแต่ฉันได้นำสิ่งที่เคยเป็นมาเพราะมันมีโครงสร้างมากเกินไปเช่นการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในส่วนถัดไปและการอภิปรายได้รับการเบี่ยงเบนไปสู่ข้อบกพร่องของมันบางอย่างที่ฉันสังเกตเห็นตัวเองและหนึ่ง DW ตัวไหนชี้ไปที่ฉัน ขอให้ฉันลองแสดงสัญชาตญาณด้านหลังแทน

$N$

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราแปลขั้นตอนเดียวกันเป็นพีชคณิตอื่นเช่นการบวกและการลบแทนการคูณและการหาร เรารู้ (ดูบทแทรกด้านล่าง) ว่าอัลกอริทึมของเราจะค้นหาพาร์ติชั่น 3 ตัวซึ่งมีผลิตภัณฑ์เท่ากันถ้ามีอยู่หรือไม่เช่นนั้นจะตัดสินว่าไม่มีพาร์ติชันดังกล่าวอยู่ 3 ตัว ดังนั้นถ้าเราสามารถแปลเทคนิคเดียวกันเป็นกลุ่มเพิ่มเติมเราสามารถหา 3 พาร์ติชันที่มีผลรวมเท่ากันหรือพิจารณาว่าไม่มีพาร์ติชันดังกล่าวอยู่ เราสามารถแก้ปัญหา 3 พาร์ติชั่นในเวลาพหุนาม ไม่น่าเชื่อถือมาก

ดังนั้นทำไมอัลกอริธึมดังกล่าวถึงได้ผลสำหรับการคูณและล้มเหลว เหตุผลหนึ่งที่เป็นไปได้คือจำนวนเต็มทุกตัวมีการแยกตัวประกอบเฉพาะที่สำคัญภายใต้การคูณ แต่เป็นวัฏจักรที่เพิ่มเข้ามา อีกอย่างหนึ่งคือการคูณจะสร้างวงแหวนด้วยการเติมดังนั้นคุณจึงมีชุดปฏิบัติการอื่นที่คุณสามารถใช้ได้ อีกอย่างหนึ่งคือคุณจะต้องทำให้เป็นอัลกอริธึมทั่วไปสำหรับการทำงานที่ไม่ใช่ช่วงเวลาและอาจขึ้นอยู่กับความเป็นอันดับแรก DW หนึ่งตัวชี้ให้เห็นว่าวิธีการแปลเฉพาะอาจเพิ่มขนาดของอินพุตของคุณเป็นทวีคูณ และอาจจะ P = NP หลังจากทั้งหมด

แต่ถ้าสิ่งเหล่านั้นเป็นช่องโหว่ที่ทำให้อัลกอริทึมเร็วทำงานฉันคิดว่ามันยังมีประโยชน์ที่จะรู้เพราะมันแสดงให้เห็นว่าเราควรมุ่งเน้นที่ความพยายามของเรา เราควรมองหาบางอย่างที่จะพังถ้าเราพยายามที่จะนำไปใช้กับปัญหาที่สมบูรณ์แบบ วิธีการที่จะพูดคุยกับจีบราส์อื่น ๆ น่าจะเห่าต้นไม้ผิด ฉันสงสัยว่าการคูณนั้นไม่แตกต่างกันมากพอที่จะใช้งานได้ แต่นั่นเป็นเพียงลางสังหรณ์

บทแทรก

$m = \sqrt[3]{N}$$(am, bm, \frac{m}{ab})$$a$$b$$(ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})m^2$$a = b = 1$

$xyz = N$

$(am)(bm) + (am)(\frac{m}{ab}) + (bm)(\frac{m}{ab}) = abm^2 + \frac{m^2}{b} + \frac{m^2}{a} = (ab+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})m^2$

$f(a,b) = ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$\frac{\delta f}{\delta a} = b - \frac{1}{a^2}$$\frac{\delta f}{\delta b} = a - \frac{1}{b^2}$$a = b^2, b = a^2$$a$$b$$a = b = 1$

แรงจูงใจในทันทีของฉันที่จะพิสูจน์ว่าสิ่งนี้คือการเติมคลื่นมือลงในข้อพิสูจน์ของฉันข้างต้นว่าหากมีวิธีการแก้ปัญหาที่สมบูรณ์แบบ อย่างไรก็ตามสูตรนี้อาจมีประโยชน์สำหรับการตัดแต่งแผนผังการค้นหา

ความคิดที่หลากหลาย

ฉันไม่เห็นความสมมาตรที่เห็นได้ชัดใด ๆ ยกเว้นการแลกเปลี่ยนของ x, y และ z ซึ่งให้ค่าคงที่ที่ดีที่สุดเพียง 6 เรามี speedups สำหรับพาร์ติชัน 2 ตัวที่บอกว่าเราต้องการทั้งสองคำ ใกล้เคียงที่สุด แต่ฉันไม่เห็นแอปพลิเคชันสำหรับปัญหานี้ในทันที

จากด้านบนของหัวของฉันเพียงจดบันทึกหมายเลขทั้งหมดในทันทีลดปัญหานี้เป็นปัญหา 3 พาร์ติชันแบบคลาสสิกโดยใช้การเพิ่มหรือเท่ากันการเอาตัวเลขบางส่วนไปเป็นกำลังของตัวเลขในปัญหาการบวก 3 พาร์ติชั่นใด ๆ ปัญหาการคูณเช่นนี้ นั่นแสดงถึงปัญหานี้ไม่ควรจะง่ายกว่านี้ เรามีการแยกตัวประกอบเฉพาะที่นี่ในขณะที่การแยกตัวประกอบจะไม่ดีเยี่ยม แต่นั่นช่วยเรา

กราฟิกพื้นผิว xyz = 0 ดูเหมือนสหภาพของ xy-, yz- และ xz-planes และสำหรับค่าบวกใด ๆ n, สมการจะมีลักษณะเหมือน y = n / xz ดังนั้นแต่ละชิ้นตามระนาบพิกัดจะเป็น ไฮเปอร์โบลา โดยทั่วไปเราสามารถพูดได้ว่าปริมาณที่เราพยายามลดให้น้อยที่สุดอยู่ที่จุดกำเนิดและเติบโตอย่างรวดเร็วที่สุดตามแนวที่ x = y = z หากเราสามารถค้นหาตามท่อร่วมนี้เท่านั้นเราอาจสามารถลดปัญหาสองมิติได้