เรื่อง“ ความสูงเฉลี่ยของต้นไม้เครื่องบินที่ปลูก” โดย Knuth, de Bruijn และ Rice (1972)

ฉันพยายามหากระดาษคลาสสิกในชื่อโดยใช้วิธีการเบื้องต้นเท่านั้น (ไม่มีฟังก์ชั่นการสร้างไม่มีการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนไม่มีการวิเคราะห์ฟูริเยร์) แม้ว่าจะมีความแม่นยำน้อยกว่ามาก ในระยะสั้นผม "เท่านั้น" ต้องการที่จะพิสูจน์ว่าค่าเฉลี่ยความสูง$h_n$ของต้นไม้ที่มีโหนด (นั่นคือจำนวนสูงสุดของโหนดจากรากใบ) ตอบสนองความn}$n$$h_n \sim \sqrt{\pi n}$

เค้าร่างมีดังนี้ ให้เป็นจำนวนต้นไม้ที่มีความสูงน้อยกว่าหรือเท่ากับ (โดยมีแบบแผนสำหรับ ) และB_ {nh}จำนวนต้นไม้ของโหนดnที่มีความสูงมากกว่าหรือเท่ากับh + 1 (นั่นคือB_ {nh} = A_ {nn} - A_ {nh} ) จากนั้นh_n = S_n / A_ {nn}โดยที่S_nคือผลรวมแน่นอน S_n = \ sum_ {h \ geqslant 1} h (A_ {nh} - A_ {n, h-1}) = \ sum_ {h \ geqslant 1 } h (B_ {n, h-1} - B_ {nh}) = \ sum_ {h \ geqslant 0} B_ {nh} เป็นที่ทราบกันดีว่าA_ {nn} = \ frac {1} {n} \ binom {2n-2} {n-1}เอชn H = n nชั่วโมง⩾ n B n H n H + 1 B n H = n n - n เอชเอชn = S n / n n S n S n = Σ ชั่วโมง⩾ 1 h ( A n h - A n , h $A_{nh}$$h$$A_{nh} = A_{nn}$$h \geqslant n$$B_{nh}$$n$$h+1$$B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$$h_n = S_n/A_{nn}$$S_n$ A n n =

$$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$$ $A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$สำหรับชุดของต้นไม้ทั่วไปที่มีโหนด$n$อยู่ใน bijection กับชุดของต้นไม้ไบนารีที่มีโหนด$n-1$นับโดยตัวเลขคาตาลัน

ดังนั้นขั้นตอนแรกคือการหา$B_{nh}$แล้วคำหลักในการขยายตัวของ asymptotic S_n$S_n$

ณ จุดนี้ผู้เขียนใช้ combinatorics เชิงวิเคราะห์ (สามหน้า) เพื่อรับ

$$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$$

ความพยายามของฉันเองมีดังนี้ ฉันพิจารณา bijection ระหว่างต้นไม้ที่มี nodes และเส้นทาง monotonic บนตารางสี่เหลี่ยมจากถึงซึ่งไม่ข้ามเส้นทแยงมุม (และทำจากสองขั้นตอน:และ ) เส้นทางเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเส้นทาง Dyckหรือทัศนศึกษา ฉันสามารถแสดงตอนนี้ในแง่ของเส้นทางตาข่าย: มันเป็นจำนวนเส้นทาง Dyck ของความยาว 2 (n-1) และความสูงมากกว่าหรือเท่ากับชั่วโมง(หมายเหตุ: ต้นไม้สูงอยู่ใน bijection กับเส้นทาง Dyck ของความสูง )$n$( 0 , 0 ) ( n - 1 , n - 1 ) ↑ $(n-1) \times (n-1)$$(0,0)$$(n-1,n-1)$$\uparrow$$\rightarrow$ . ชม. ชม. - $B_{nh}$$h$$h$$h-1$

ฉันคิดว่าพวกเขาเริ่มต้นด้วย (ดังนั้นอยู่เหนือเส้นทแยงมุม) สำหรับแต่ละเส้นทางฉันพิจารณาขั้นตอนแรกที่ข้ามเส้นถ้ามี จากจุดด้านบนตลอดทางกลับไปที่จุดกำเนิดฉันเปลี่ยนเป็นและในทางกลับกัน (นี่คือภาพสะท้อนการเขียนเส้น ) เห็นได้ชัดว่าเส้นทางที่ฉันต้องการนับ ( ) อยู่ในเส้นทางที่มีจากเส้นทาง monotonic จากถึงซึ่งหลีกเลี่ยงขอบเขตและx-1 (ดูรูป )y = x + h - 1 ↑ → y = x + h B n h ( - h , $\uparrow$$y = x + h - 1$$\uparrow$$\rightarrow$$y=x+h$$B_{nh}$( $(-h,h)$y = x + 2 h + 1 y = x - $(n-1,n-1)$$y=x+2h+1$$y=x-1$

ในหนังสือคลาสสิคLattice Path Count and Applicationsโดย Mohanty (1979, หน้า 6) สูตร นับจำนวนเส้นทางโมโนทโทนิกในตาข่ายจากถึงซึ่งหลีกเลี่ยงขอบเขตและกับและ0 (ผลลัพธ์นี้ถูกสร้างขึ้นครั้งแรกโดยนักสถิติชาวรัสเซียในยุค 50) ดังนั้นเมื่อพิจารณาจากแหล่งกำเนิดใหม่ที่เราจะปฏิบัติตามเงื่อนไขของสูตร: ,(0,0)(m,n)y=x-ty=x+st>0s>0(-h,h)s=1t=2h+1(n+h-1

$$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$$ $(0,0)$$(m,n)$$y = x - t$$y = x + s$$t > 0$$s > 0$$(-h,h)$$s=1$$t=2h+1$และจุดปลายทาง (มุมบนขวา) คือตอนนี้NH-1) จากนั้น สิ่งนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นใน ซึ่งในทางกลับกันเทียบเท่ากับ ความแตกต่างกับสูตรที่คาดหวังคือฉันรวมกับจำนวนคี่ ( ) แทนที่จะเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ( )B n h = ∑ k ∈ Z [ ( 2 n - $(n+h-1,n-h-1)$ Bn+1,h-1=∑k∈Z[ ( 2 $$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$$ Bn+1,h-1=∑k⩾0[ ( 2 $$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$$ $$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$$ $2k+1$$k$

ความคิดใดที่ปัญหาคืออะไร?

เส้นทางเสียงโมโนจาก$(−h,h)$ถึงที่คุณสร้างหลีกเลี่ยงขอบเขตก่อนที่จะข้ามเป็นครั้งแรก ดังนั้นสูตรที่คุณใช้จึงไม่สามารถใช้ได้$(n−1,n−1)$$y=x+2h+1$$y=x+h$