สิ่งที่ไม่

สิ่งที่ไม่$\log^{O(1)}n$หมายถึง?

ฉันตระหนักถึงสัญกรณ์ใหญ่ ๆ แต่สัญกรณ์นี้ไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน ฉันไม่สามารถหาข้อมูลเกี่ยวกับมันได้เนื่องจากไม่มีเครื่องมือค้นหาตีความอย่างถูกต้อง

สำหรับบิตของบริบทประโยคที่ผมพบว่ามันอ่าน "[ ... ] เราเรียกฟังก์ชั่น [ประสิทธิภาพ] ถ้าจะใช้พื้นที่และที่มากที่สุดเวลาเข้าสู่ระบบO ( 1 ) nต่อรายการ."$O(\log n)$$\log^{O(1)}n$

คุณต้องเพิกเฉยสักครู่ความรู้สึกที่แข็งแกร่งที่ " " อยู่ผิดที่และไถลไปด้วยคำจำกัดความโดยไม่คำนึงถึง ฉ( n ) = บันทึกO ( 1 ) nหมายถึงว่ามีอยู่คงที่kและn 0ดังกล่าวว่าสำหรับทุกn ≥ n 0 , F ( n ) ≤ บันทึกk ⋅ 1 n = log k n$O$$f(n) = \log^{O(1)}n$$k$$n_0$$n\geq n_0$$f(n) \leq \log^{k\cdot 1}n = \log^k n$

โปรดทราบว่าหมายถึง( บันทึกn ) k ฟังก์ชั่นของฟอร์มบันทึกO ( 1 ) nมักจะถูกเรียกว่าpolylogarithmicและคุณอาจได้ยินคนพูดว่า " fคือ polylog  n "$\log^k n$$(\log n)^k$$\log^{O(1)}n$$f$$n$

คุณจะสังเกตเห็นว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่าตั้งแต่2 n ≤ k nสำหรับทุกn ≥ 0ที่k = 2 คุณอาจจะสงสัยว่าถ้า2 บันทึกn = เข้าสู่ระบบO ( 1 ) n คำตอบคือใช่ตั้งแต่ขนาดใหญ่พอnให้ล็อกn ≥ 2ดังนั้น2 log n ≤ log 2 nสำหรับใหญ่พอ $2n=O(n)$$2n\leq k n$$n\geq 0$$k=2$$2\log n = \log^{O(1)}n$$n$$\log n\geq 2$$2\log n \leq \log^2n$ .$n$

ในบันทึกที่เกี่ยวข้องคุณมักจะเห็นพหุนามที่เขียนเป็น : แนวคิดเดียวกัน$n^{O(1)}$

นี่คือการละเมิดของโน้ตที่สามารถทำให้ความรู้สึกโดยได้รับการยอมรับโดยทั่วไปการประชุมยึด : เมื่อใดก็ตามที่คุณพบว่ามีรถม้าระยะแทนที่ (ในใจของคุณหรือบนกระดาษ) โดยพลการฟังก์ชั่นกรัม∈ O ( ฉ )$O(f)$$g \in O(f)$

ดังนั้นหากพบ

$\qquad f(n) = \log^{O(1)} n$

คุณต้องอ่าน

สำหรับบางกรัม∈ O ( 1 $\qquad f(n) = \log^{g(n)} n$$g \in O(1). \hspace{5cm} (1)$

สังเกตความแตกต่างจากการพูดว่า " to power of constant คงที่": g = n ↦ 1 / nเป็นไปได้ที่แตกต่างกัน$\log$$g = n \mapsto 1/n$

คำเตือน:ผู้แต่งอาจใช้สัญลักษณ์ที่ดูผิดๆและต้องการให้คุณอ่าน

สำหรับบางกรัม∈ O ( 1 $\qquad f(n) \in O(\log^{g(n)} n)$$g \in O(1). \hspace{4.3cm} (2)$

สังเกตความแตกต่างระหว่าง (1) และ (2); ในขณะที่มันทำงานออกมาเพื่อกำหนดฟังก์ชั่นค่าบวกชุดเดียวกันที่นี่สิ่งนี้ไม่ได้ผล อย่าขยับในการแสดงออกโดยไม่สนใจ!$O$

มันหมายความว่าฟังก์ชั่นเติบโตมากที่สุดเมื่อกับกำลังของค่าคงที่บางค่าเช่นlog 2 ( n )หรือlog 5 ( n )หรือlog 99999 ( n $\log$$\log^2(n)$$\log^5(n)$$\log^{99999}(n)$ ...

"ที่มากที่สุด " หมายความว่ามีค่าคงที่cเช่นนั้นสิ่งที่ถูกวัดคือO ( บันทึกc n $\log^{O(1)} n$$c$$O(\log^c n)$ )

ในบริบทที่กว้างขึ้น, เทียบเท่ากับคำสั่งที่มีอยู่ (อาจจะลบ) คงที่และขดังกล่าวว่าF ( n ) ∈ O ( log n )และF ( n ) ∈ โอห์ม( บันทึกข n )$f(n) \in \log^{O(1)} n$$a$$b$$f(n) \in O(\log^a n)$$f(n) \in \Omega(\log^b n)$

มันเป็นเรื่องง่ายต่อการมองเห็นขอบเขตล่าง ในสภาพแวดล้อมที่มีความสำคัญ (ซึ่งจะแปลกมากถ้าคุณสนใจศึกษาการเติบโตแบบซีมโทติค ) คุณไม่ควรมั่นใจอย่างเต็มที่ว่าผู้เขียนหมายถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าจริง ๆ และจะต้องพึ่งพาบริบทเพื่อ ตรวจสอบให้แน่ใจ$\Omega(\log^b n)$

ความหมายที่แท้จริงของสัญกรณ์จะทำเลขคณิตเกี่ยวกับครอบครัวของฟังก์ชั่นที่เกิดในครอบครัวที่มีฟังก์ชั่นทั้งหมดที่เข้าสู่ระบบกรัม( n ) nที่กรัม( n ) ∈ O ( 1 ) วิธีนี้ใช้ได้ผลเช่นเดียวกับวิธีการคูณO ( g ( n ) )ด้วยh ( n ) ให้ผลลัพธ์เป็นO ( g ( n ) h $\log^{O(1)} n$$\log^{g(n)} n$$g(n) \in O(1)$$O(g(n))$$h(n)$$O(g(n) h(n))$, except that you get a result that isn't expressed so simply.

เนื่องจากรายละเอียดของขอบเขตล่างอยู่ในอาณาเขตที่อาจไม่คุ้นเคยจึงควรดูที่ตัวอย่างบางส่วน โปรดจำไว้ว่านั้นมีขนาดเท่ากัน ว่ามีความคงที่คเช่นว่าทุกขนาดใหญ่พอn , $g(n) \in O(1)$$c$$n$$|g(n)| < c$.

เมื่อมองไปที่ asymptotic การเจริญเติบโตมักจะมีเพียงถูกผูกไว้บนเรื่องตั้งแต่เช่นคุณรู้อยู่แล้วว่าฟังก์ชั่นเป็นบวก อย่างไรก็ตามในทั่วไปเต็มรูปแบบที่คุณต้องใส่ใจกับขอบเขตที่ต่ำกรัม( n ) > -ค$g(n) < c$$g(n) > -c$

ซึ่งหมายความว่าตรงกันข้ามกับการใช้สัญกรณ์ทั่วไปที่ใหญ่กว่ามากฟังก์ชั่นที่ลดลงเร็วเกินไปอาจไม่สามารถอยู่ใน ; ตัวอย่างเช่น $\log^{O(1)} n$

$-1 \notin \log^{O(1)} n$