ทำไมเป็น Radix เรียง

23

ในการเรียงลำดับ radix เราแรกเรียงตามเลขนัยสำคัญน้อยที่สุดจากนั้นเราเรียงตามหลักนัยสำคัญที่น้อยที่สุดรองและอื่น ๆ และจบลงด้วยรายการที่เรียงลำดับ

ตอนนี้ถ้าเรามีรายการหมายเลขเราต้องการบิตเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างตัวเลขเหล่านั้น ดังนั้นจำนวนกี่เรียงผ่านที่เราทำจะเป็นn แต่ละรอบใช้เวลาและด้วยเหตุนี้เวลาทำงานของการเรียง Radix คือ $n$ $\log n$ $\log n$ $O(n)$ $O(n \log n)$

แต่เป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นอัลกอริธึมเชิงเส้นเวลา ทำไม?

algorithms sorting

— Pratik Deoghare
แหล่งที่มา

นี่คือเหตุผลที่การเรียงลำดับเชิงเส้นเวลามักต้องการให้อินพุตเป็นจำนวนเต็มในช่วงบางช่วงคงที่ การจัดเรียง Radix ต้องใช้ช่วงคงที่ของตัวเลข ในตัวอย่างของคุณคุณสมมติว่าช่วงเป็นแต่ช่วงจำนวนเต็มใด ๆ เป็นไปได้สำหรับตัวเลข ตัวอย่างเช่นคุณสามารถเลือก

[0, 1]

$[0,1]$

[0, \sqrt{n}]

$[0, \sqrt{n}]$

— Joe

19

หากเรามีรายการหมายเลขเราต้องการ bits $n$ $\log n$

ไม่: ถ้าเรามีรายการตัวเลขระหว่างถึงเราต้องการบิต ไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างและโดยทั่วไป $0$ $2^k - 1$ $k$ $k$ $\log n$

ถ้าตัวเลขที่มีทั้งหมดที่แตกต่างกันแล้วและ Radix เรียงลำดับตัวเลขที่แตกต่างกันดังนั้นจึงมีความซับซ้อนเวลาของการn) โดยทั่วไปความซับซ้อนของการเรียงตัวของ Radix คือโดยที่คือจำนวนองค์ประกอบที่จะเรียงลำดับและคือจำนวนบิตในแต่ละองค์ประกอบ $\log n \ge k$ $\Omega(n \log n)$ $\Theta(n \, k)$ $n$ $k$

ที่จะบอกว่าความซับซ้อนของการเรียงตัวของ Radix คือ $O(n)$ หมายถึงการใช้ขนาดบิตคงที่สำหรับตัวเลข นี่ก็หมายความว่าสำหรับขนาดใหญ่พอที่จะมีค่าซ้ำกันมากมาย $n$

มีทฤษฎีบททั่วไปที่อาร์เรย์หรือรายการวิธีการที่ผลงานโดยการเปรียบเทียบสององค์ประกอบในช่วงเวลาที่ไม่สามารถทำงานได้เร็วกว่าการเรียงลำดับเป็นในกรณีที่เลวร้ายที่สุด การเรียงลำดับ Radix ไม่ทำงานโดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบ แต่วิธีการพิสูจน์เดียวกันทำงาน การจัดเรียง Radix เป็นกระบวนการตัดสินใจในการพิจารณาว่าการเปลี่ยนแปลงแบบใดที่จะใช้กับอาเรย์ มีการเรียงสับเปลี่ยนของอาเรย์และการเรียงลำดับฐานข้อมูลจะใช้การตัดสินใจแบบไบนารีนั่นคือการตัดสินใจว่าจะสลับสององค์ประกอบหรือไม่ในแต่ละขั้นตอน หลังจากการตัดสินใจแบบไบนารีการเรียงลำดับ radix สามารถตัดสินใจระหว่างการเปลี่ยนแปลงไปถึงการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้มันเป็นสิ่งจำเป็นที่ $\Theta(n \log n)$ $n!$ $m$ $2^m$ $n!$ ) $m \ge \log (n!) = \Theta(n \log n)$

ข้อสันนิษฐานในการพิสูจน์ที่ฉันไม่ได้เขียนข้างต้นคืออัลกอริทึมจะต้องทำงานในกรณีที่องค์ประกอบแตกต่างกัน ถ้าเป็นที่รู้กันมาก่อนว่าองค์ประกอบนั้นไม่แตกต่างกันทั้งหมดจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้นั้นน้อยกว่าค่าเต็ม. เมื่อเรียงลำดับหมายเลข -bit เป็นไปได้ที่จะมีองค์ประกอบที่แตกต่างกันเพียงเมื่อเท่านั้น ในกรณีที่ความซับซ้อนของการจัดเรียง Radix แน่นอน )สำหรับค่าที่มากขึ้นของจะต้องมีการชนกันซึ่งจะอธิบายถึงวิธีการเรียงลำดับของ Radix ที่มีความซับซ้อนน้อยกว่า $n!$ $k$ $n$ $n \le 2^k$ $\Omega(n \log n)$ $n$ เมื่อ k $\Theta(n \log n)$ $n \gt 2^k$

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา

1

มุมมองทางเลือกคือโมเดลต้นทุน word-RAM: เครื่องของเราสามารถทำงานกับจำนวนเต็มของบิต

ในเวลาคงที่ (เครื่องปัจจุบันที่มี

) ด้วยวิธีนี้ขั้นตอนหนึ่งของการจัดเรียงแบบกระจายพร้อมถัง

สามารถทำได้ในเวลา

โดยการเข้าถึงองค์ประกอบอาร์เรย์ที่สอดคล้องกันโดยตรง ด้วยวิธีนี้การเรียงตัวของ Radix จะเป็นเส้นตรงสำหรับจำนวนเต็ม

จำนวนของ

บิตแต่ละตัว

w

$w$

w = 64

$w=64$

2^{w}

$2^w$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

w = O (\log n)

$w=O(\log n)$

— เซบาสเตียน

9

$O(n)$ $0$ $k-1$ $k$ $\Theta(n+k)$ $k=O(n)$

$d$ $d$ $\Theta(d(n+k))$ $d$ $k=O(n)$

— Juho
แหล่งที่มา

1

[0, N - 1]

$[0, N-1]$

N = O (n^{d})

$N = O(n^d)$

d

$d$

O (d)

$O(d)$

O (n)

$O(n)$

-2

$k = \log_2(n)$ $16$

— Alexandre Kandalintsev
แหล่งที่มา

6

\log_{2} n

$\log_2n$

\log_{16} n

$\log_{16}n$