ความหมายของ:“ 'หากการแยกเลขจำนวนเต็มขนาดใหญ่ยากแล้วการแตก RSA นั้นยาก' จะพิสูจน์ได้ "

ฉันอ่าน CLRS และพูดว่า:

หากการแยกจำนวนเต็มขนาดใหญ่นั้นง่ายแล้วการทำลายระบบเข้ารหัส RSA นั้นเป็นเรื่องง่าย

ซึ่งเหมาะสมกับฉันเพราะด้วยความรู้ของและqมันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างรหัสลับซึ่งเป็นความรู้เกี่ยวกับกุญแจสาธารณะ แม้ว่ามันจะอธิบายถึงการสนทนาที่ฉันไม่เข้าใจ:$p$$q$

คำสั่งสนทนาว่าหากการแยกจำนวนเต็มจำนวนมากนั้นยากการแบ่ง RSA นั้นยากจะพิสูจน์ได้

ข้อความข้างต้นอย่างเป็นทางการหมายถึงอะไร? หากเราถือว่าแฟคตอริ่งนั้นยาก (ในทางที่เป็นทางการ) ทำไมมันไม่ได้หมายความว่าการทำลายระบบการเข้ารหัส RSA นั้นยาก?

ตอนนี้ให้พิจารณาว่าหากเราสันนิษฐานว่าแฟคตอริ่งนั้นยาก ... และเราค้นพบว่านั่นหมายความว่าระบบเข้ารหัส RSA นั้นยากที่จะทำลาย นั่นหมายความว่าอย่างเป็นทางการหมายความว่าอย่างไร

วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะคิดเกี่ยวกับมันก็คือการคิดถึงสิ่งที่ตรงกันข้าม

คำสั่ง:

ถ้าแฟคตอริ่งจำนวนเต็มขนาดใหญ่นั้นยากการแบ่ง RSA นั้นยาก

เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ถ้าการแบ่ง RSA เป็นเรื่องง่ายดังนั้นการแยกจำนวนเต็มขนาดใหญ่จึงเป็นเรื่องง่าย

คำสั่งนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์

สิ่งที่พวกเขากำลังพูดคือสมมติว่าเรามีอัลกอริทึมที่สามารถแก้ปัญหาการแยกตัวประกอบในเวลาพหุนาม จากนั้นเราสามารถใช้มันเพื่อสร้างอัลกอริทึมที่แก้ RSA ในเวลาพหุนาม

แต่อาจมีวิธีอื่นในการถอดรหัส RSA ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการแยกจำนวนเต็ม เป็นไปได้ว่าเราจะพบว่าเราสามารถแตก RSA ในลักษณะที่ไม่ให้เราแยกจำนวนเต็มในเวลาพหุนาม

ในระยะสั้นเรารู้ว่า RSA นั้นง่ายอย่างน้อยเท่ากับแฟตตอริ่ง มีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้: RSA และแฟคตอริ่งมีความยากเทียบเท่าหรือ RSA เป็นปัญหาที่ง่ายกว่าอย่างยิ่งแฟคตอริ่ง เราไม่ทราบว่าเป็นกรณีใด

การดำรงอยู่ของวิธีที่ยากไม่ได้หมายความว่าไม่มีวิธีที่ง่าย

อาจมีหลายวิธีในการทำลาย RSA และเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีใดวิธีหนึ่งเท่านั้น

หนึ่งในวิธีเหล่านี้คือการแยกจำนวนเต็มจำนวนมากดังนั้นหากเป็นเรื่องง่ายเราสามารถทำได้ด้วยวิธีนี้และ RSA จะเสีย นี่เป็นวิธีเดียวที่เรารู้ ถ้ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำเช่นนั้นเรายังคงสามารถหาวิธีอื่น ๆ ที่เรียกร้องได้น้อยกว่าในการทำงานของเราโดยไม่ต้องคำนวณpและqจากnอย่างชัดเจน

ในการพิสูจน์ว่า RSA นั้นใช้งานไม่ได้เราต้องพิสูจน์ว่าวิธีหนึ่งที่ทำได้ง่าย

ในการพิสูจน์ว่า RSA นั้นปลอดภัยเราต้องพิสูจน์ว่าทุกวิธีที่ทำได้ยาก

ท้ายที่สุดคำสั่งของคุณไม่ได้รับการพิสูจน์เพราะมันไม่ได้พิสูจน์ว่าไม่มีวิธีการอื่นที่ง่ายกว่าที่จะดึงข้อมูลจากไซเบอร์เท็กซ์

อีกวิธีหนึ่งในการดูคือการทำลาย RSA ต้องใช้กรณีพิเศษของการแยกตัวประกอบซึ่งอาจหรือไม่ง่ายโดยไม่คำนึงถึงคำถามทั่วไปของการแยกตัวประกอบ

$3$

หมายความว่าปัญหา RSA นั้นดูเหมือนจะเฉพาะเจาะจงกว่าแฟคตอริ่ง

$pq$$e,$$v,$$m$$v \equiv m^e \mod pq$

ปัญหาแฟคือ: รู้ semiprimeหาทั้งและQ$pq,$$p$$q$

หากคุณได้อย่างมีประสิทธิภาพสามารถแก้ปัญหาแฟแล้วคุณได้อย่างมีประสิทธิภาพสามารถแก้ปัญหาอาร์เอสที่ใช้ semiprime ปัจจัยมันใช้ทฤษฎีบางอย่างเกี่ยวกับ moduluses ที่สำคัญในการคำนวณผกผันตัวแทนซึ่งแสดงให้เห็น ciphertexts ทั้งหมดเป็น d (ในความเป็นจริงทฤษฎีเหล่านี้เป็นวิธีการตั้งค่าสำหรับ RSA ทำงาน: เรารู้สองช่วงเวลาระหว่างขั้นตอนการตั้งค่า)m ≡ v $d$$m \equiv v^d$

อย่างไรก็ตามไม่มีใครรู้ว่าการแก้ปัญหาข้างต้นสำหรับข้อความโดยพลการจะบอกอะไรคุณเกี่ยวกับปัจจัยของโมดูลัสหรือเลขชี้กำลังที่เกี่ยวข้อง มันอาจจะใช่หรือไม่ใช่ก็ได้ เราไม่รู้ คนฉลาดหลายคนคงมองปัญหาแล้ว แต่ก็ไม่มีอะไรโดดเด่นเลย ดังนั้นจึงไม่ทราบว่าปัญหาแฟจะได้รับการแก้ไขโดยการแก้ปัญหาอาร์เอสเอ (บวกกับความพยายามพหุนาม) เฉพาะว่าปัญหาอาร์เอสเอสจะได้รับการแก้ไขโดยการแก้ไขปัญหาแฟคตอริ่ง$m$

ในความเป็นจริงในปี 1998 Boneh และ Venkatesan เผยแพร่หลักฐานว่าอัลกอริทึมคลาสง่าย ๆ (บวก, ครั้ง, เลขยกกำลัง, ไม่มีสิ่งของประเภท XOR / NAND) ไม่สามารถใช้เพื่อเปลี่ยนวิธีแก้ปัญหา RSA เป็นอัลกอริทึมการแฟ อาร์กิวเมนต์มีความเฉลียวฉลาดอย่างง่าย ๆ : โดยจัดการกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เหล่านั้นเราจะพบว่า "การลดอัลกอริธึม" (สำหรับความแม่นยำ: นี่คืออัลกอริธึมที่ใช้ RSA "oracle" สำหรับ semiprime ออกมาเป็นอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบในสิทธิของตนเองเพื่อให้เราสามารถปรับเปลี่ยนให้เป็นตัวแปรที่ไม่เรียกไปยัง oracle ดังนั้นเราจึงมี trichotomy: (a) ไม่มีอัลกอริธึมลดดังกล่าวหรือ (b) อัลกอริทึมการลดไม่มีการตีความทางคณิตศาสตร์ที่ดีหรือ (c) แฟคตอริ่งเป็นพหุนามเวลาเหมือนกับอัลกอริธึมลด

$\log_e C$$\mathbb{Z}_{m}$$e$$m$$C$

งานทางคณิตศาสตร์ทั้งสองนี้เกี่ยวข้อง แต่ (ถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้อง) ก็เชื่อว่าการแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งจะไม่ได้หมายความถึงวิธีการแก้ปัญหาอื่น ๆ ฉันไม่รู้ว่าพวกเขาเป็นเพียงสองวิธีในการทำลาย RSA ทางคณิตศาสตร์หรือไม่