การเชื่อมต่อระหว่างประตู NAND และทัวริงสมบูรณ์

ฉันรู้ว่าประตู NAND สามารถใช้ในการสร้างวงจรที่ใช้ความจริงทุกตารางและคอมพิวเตอร์ที่ทันสมัยสร้างขึ้นจากประตู NAND การเชื่อมโยงเชิงทฤษฎีระหว่างประตู NAND และทัวริงสมบูรณ์เป็นอย่างไร สำหรับฉันดูเหมือนว่าวงจรเกต NAND ใกล้กับออโตมาต้าที่ จำกัด กว่าเครื่องทัวริง สัญชาตญาณของฉันคือฉันสามารถสร้าง flip-flop และดังนั้นการลงทะเบียนและหน่วยความจำออกจากประตู NAND และหน่วยความจำที่ไม่ได้ จำกัด เป็นคุณสมบัติที่สำคัญของทัวริงระบบที่สมบูรณ์ ฉันกำลังมองหาคำอธิบายทางทฤษฎีหรือคณิตศาสตร์เพิ่มเติมหรือพอยน์เตอร์เกี่ยวกับสิ่งที่อ่าน

มีการเชื่อมต่อน้อยมาก เพื่อความเข้าใจอย่างละเอียดให้ฉันอธิบายการเชื่อมต่อระหว่างโปรแกรมและวงจร

โปรแกรม (หรืออัลกอริทึมหรือเครื่อง ) เป็นกลไกสำหรับการคำนวณฟังก์ชัน สำหรับความชัดเจนให้เราคิดว่าการป้อนข้อมูลเป็นสตริงไบนารีและเอาท์พุทเป็นแบบบูลเอาท์พุทข ขนาดของอินพุตนั้นอาจถูก จำกัด ตัวอย่างหนึ่งคือโปรแกรมที่กำหนดว่าอินพุตเป็นการเข้ารหัสเลขฐานสองของจำนวนเฉพาะหรือไม่$x$$b$

วงจร (บูลีน) คือชุดคำสั่งสำหรับการคำนวณฟังก์ชันจำกัดบางอย่าง เราสามารถนึกภาพวงจรเป็นวงจรไฟฟ้าหรือคิดว่ามันเป็นลำดับของคำสั่ง (มุมมองนี้เรียกว่าโปรแกรมเส้นตรงแบบสับสน) เราสามารถสรุปได้ว่าอินพุตเป็นสตริงไบนารีของความยาวnและเอาต์พุตเป็นบูลีน ตัวอย่างหนึ่งคือวงจรที่กำหนดว่าอินพุตเข้ารหัสหมายเลขเฉพาะ (เหมือนก่อนหน้านี้เฉพาะตอนนี้อินพุตต้องมีความยาวn )$x$ $n$$n$

เราสามารถแปลงโปรแกรมเป็นวงจรP nที่เลียนแบบPปัจจัยของความยาวn ลำดับที่สอดคล้องกันของวงจรP 0 , P 1 , P 2 , ...ไม่ได้โดยพลการ - พวกเขาทั้งหมดจะสามารถสร้างขึ้นโดยโปรแกรมที่ได้รับnผลP n เราเรียกลำดับดังกล่าวของวงจรเครื่องแบบวงจร (พลุกพล่านเรามักจะคิดว่าลำดับเป็น "เดี่ยว" วงจรP nสำหรับไม่แน่นอนn )$P$$P_n$$P$$n$$P_0,P_1,P_2,\ldots$$n$$P_n$$P_n$$n$

ลำดับวงจรไม่ได้เหมือนกันทุกชุด อันที่จริงลำดับของวงจรสามารถคำนวณได้ทุกฟังก์ชั่นตั้งแต่สตริงไปจนถึงบูลีนคำนวณหรือไม่สามารถคำนวณได้! อย่างไรก็ตามในทฤษฎีความซับซ้อนเรามีความสนใจในโมเดลที่ไม่เหมือนกันซึ่งมีการ จำกัด วงจร ตัวอย่างเช่นคำถาม P = NP ระบุว่าปัญหา NP-complete ไม่สามารถแก้ไขได้โดยอัลกอริทึมเวลาพหุนาม นี่ก็หมายความว่าปัญหา NP-complete ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวงจรเครื่องแบบขนาดพหุนาม มันเป็นที่คาดคะเนได้ยิ่งไปกว่านั้นว่าปัญหา NP-สมบูรณ์ไม่สามารถแก้ไขได้โดยวงจรขนาดพหุนามโดยไม่ต้องการความเท่าเทียม

แบบจำลองการคำนวณที่สมบูรณ์แบบทัวริงเป็นแบบจำลองที่ตระหนักถึงฟังก์ชั่นการคำนวณทั้งหมด (และไม่มีอีกต่อไป) ในทางตรงกันข้ามระบบที่สมบูรณ์ของประตู (เช่น AND, OR, NOT หรือ NAND) อนุญาตให้คำนวณฟังก์ชันจำกัดโดยใช้วงจรที่ทำจากประตูเหล่านี้ ระบบที่สมบูรณ์ดังกล่าวสามารถคำนวณฟังก์ชั่นโดยพลการอย่างสมบูรณ์โดยใช้ (ไม่ จำกัด ) ลำดับของวงจร

คุณอยู่ในความจริงที่ถูกต้อง วงจรลอจิกเชิงตรรกะนั้นเทียบเท่ากับออโตเมติก จำกัด ประตู NAND ไม่ได้ทำให้พวกเขาแข็งแกร่งขึ้น พวกมันถูกใช้เพราะมันถูกกว่าในการสร้างวงจรลอจิกแบบดิจิทัลที่มีเกทชนิดเดียวมากกว่าที่จะสร้างมันด้วยประตูที่ต่างกันทั้งหมด ในความเป็นจริงแล้วประตู NAND สามารถสร้างได้จากแค่ประตู AND และประตูไม่ได้ รองเท้าแตะทำให้วงจรทัวริงสมบูรณ์ นี่คือกุญแจที่มีประโยชน์:

วงจรเชิงผสม ~ ออโตไฟไนท์ จำกัด ~ ภาษาปกติ ~ นิพจน์ทั่วไป ~ แคลคูลัสเชิงประพจน์ ~ โปรแกรมแบบเส้นตรง

$\mu$

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมมีหนังสือที่ดีมากที่คุณสามารถดาวน์โหลดในรูปแบบ PDF ได้ฟรีซึ่งอธิบายทั้งหมดนี้:

https://cs.brown.edu/people/jes/book/pdfs/ModelsOfComputation.pdf