ไม่มีโมเดลเชิงทฤษฎีเซตของแคลคูลัส Polymorphic ที่ไร้เดียงสา?

ในกระดาษของ Philip Wadler เกี่ยวกับทฤษฎีบทฟรีเขากล่าวในหัวข้อที่ 2 เกี่ยวกับ Parametricity ว่า

ไม่มีโมเดลเชิงทฤษฎีที่ไร้เดียงสาของแคลคูลัส polymorphic แลมบ์ดา

ในรูปแบบโมเดลซื่อๆทางทฤษฎีคือเซตและฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเซตทฤษฎีซึ่งดูเหมือนสมเหตุสมผล แล้วทำไมเขาถึงบอกว่าไม่มีโมเดลแคลคูลัสเชิงพหุนามของแลมบ์ดา polymorphic ไร้เดียงสา?

functional-programming

— MK
แหล่งที่มา

ตกลงผมก็สะดุดบนกระดาษนี้: hal.inria.fr/inria-00076261/document ฉันจะต้องไถนามัน

— MK

กระดาษโดย Reynolds นั้นเป็นกระดาษที่ถูกต้องที่จะอ่าน! ถนัดมากรายละเอียดมันก็ขึ้นอยู่กับ: data T = K ((T -> Bool) -> Bool)พิจารณา จากนั้นTและ((T->Bool)->Bool)เป็น isomorphic หากพวกเขามีรูปแบบชุดที่->หมายถึงพื้นที่ฟังก์ชั่น (เป็นชุด) หลังมี cardinality Tที่สูงขึ้นดังนั้นจึงไม่สามารถที่จะ ดังนั้นในรูปแบบเราจำเป็นต้องตีความ->แตกต่างกัน - เช่นพื้นที่ของฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

— Chi

ฉันตอบเร็วเกินไปและตอบคำถามผิด ขอโทษสำหรับเรื่องนั้น. เหตุผลของแคลคูลัสแลมบ์ดา polymorphic ที่ไม่มีแบบจำลองในทฤษฎีเซตไร้เดียงสานั้นค่อนข้างจะแตกต่างจากแบบจำลองแลมบ์ดาแลปด้าที่ไม่ได้พิมพ์

มาตรฐานอ้างอิงคุณกำลังมองหาแน่นอน Reynold ของความแตกต่างไม่ได้ตั้งทฤษฎี ในขณะที่เห็นได้ชัดว่าคุณไม่สามารถสร้างรูปแบบได้เช่นผลิตภัณฑ์เหนือทุกเซตโดยใช้ผลิตภัณฑ์ตามทฤษฎีเซตปกติมันเป็นคำถามที่ถูกกฎหมายและไม่สำคัญว่ามีความอ่อนแอกว่าหรือไม่ ความคิดของผลิตภัณฑ์ที่จะทำงานในขณะที่รักษาสินค้าไบนารีปกติและพื้นที่ฟังก์ชั่น\ $\Pi_{S\in\mathrm{Set}}S$ $\times$ $\rightarrow$

$\bf 2$ $T=\Pi_X(X\rightarrow {\bf 2})\rightarrow{\bf 2}$ $(T\rightarrow {\bf 2})\rightarrow {\bf 2}$ $\rightarrow$

โปรดทราบว่ากระดาษเพิ่มเติมโดย Andrew Pitts ความแตกต่างคือ Set Theoretic, Constructivelyพลิกข้อสรุปนี้โดยแสดงให้เห็นว่าข้อสรุปข้างต้นเป็นไปได้เพียงเพื่อสร้างความขัดแย้งในทฤษฎีเซตคลาสสิกและมีหลายทฤษฎีที่สามารถสร้างความแตกต่างถูกตีความด้วยการตีความตามปกติของฟังก์ชั่นช่องว่างและผลิตภัณฑ์ ที่สะดุดตาที่สุดเหล่านี้ "ผลิตภัณฑ์ที่มีขนาดใหญ่" ที่มีอยู่ใน Topos ที่มีประสิทธิภาพที่ครอบคลุมมากที่สุดของการเปิดตัวจะถูกกำหนดโดยPhoa

— Cody
แหล่งที่มา