มีคิวลำดับความสำคัญที่มีการแยก

มีโครงสร้างข้อมูลจำนวนมากที่ใช้อินเตอร์เฟสลำดับความสำคัญ - คิว:

• Insert: ใส่องค์ประกอบเข้าไปในโครงสร้าง
• Get-Min: คืนองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในโครงสร้าง
• Extract-Min: ลบองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในโครงสร้าง

โครงสร้างข้อมูลทั่วไปที่ใช้อินเทอร์เฟซนี้คือ (นาที) ฮีป

โดยปกติแล้วเวลาที่ใช้งาน (ตัดจำหน่าย) ของการดำเนินการเหล่านี้คือ:

• แทรก: (บางครั้ง )O ( บันทึกn $\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(\log n)$
• Get-Min:$\mathcal{O}(1)$
• สารสกัด - ขั้นต่ำ:$\mathcal{O}(\log n)$

Fibonacci กองประสบความสำเร็จในครั้งที่ทำงานเหล่านี้ตัวอย่างเช่น ตอนนี้คำถามของฉันคือต่อไปนี้:

มีโครงสร้างข้อมูลที่มีเวลาทำงาน (ตัดจำหน่าย) ต่อไปนี้หรือไม่?

• แทรก: $\mathcal{O}(\log n)$
• Get-Min: $\mathcal{O}(1)$
• สารสกัดจากขั้นต่ำ: $\mathcal{O}(1)$

หากเราสามารถสร้างโครงสร้างดังกล่าวในเวลา$\mathcal{O}(n)$กำหนดอินพุตที่เรียงลำดับจากนั้นเราสามารถเช่นหาจุดตัดของเส้นบนอินพุตที่เรียงลำดับล่วงหน้าด้วย$o\left(\frac{n}{\log n}\right)$ทางแยกเร็วกว่าถ้าเราใช้ลำดับความสำคัญ 'ปกติ'

ความคิดของเราคือการใช้เกลียว ต้นไม้แผ่ออก นอกเหนือจากบทความ Wikipedia เราจะโยงต้นไม้เพื่อให้ทุกโหนดมีตัวชี้nextไปยังตัวตายตัวแทนในการส่งผ่านตามลำดับ เรายังถือตัวชี้startไปยังองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในต้นไม้

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าการแยกองค์ประกอบที่เล็กที่สุดเป็นไปได้ใน (กรณีที่เลวร้าย) เวลา : เพียงแค่ทำตามตัวชี้เอาขั้นต่ำและการเปลี่ยนแปลงตัวชี้ไปขั้นต่ำ ขั้นต่ำไม่สามารถมีลูกที่ยังเหลืออยู่ได้ ถ้ามันมีลูกที่เหมาะสมเราจะวางไว้ในตำแหน่งที่ต่ำที่สุดในต้นไม้ เราไม่ได้ดำเนินการต้นไม้ splay ดำเนินการโดยปกติจะทำ ผลลัพธ์คือแผนผังการค้นหาที่ยังคงมีความสมดุลพอสมควร: เนื่องจากเราลบโหนดที่ด้านข้างซ้ายเท่านั้นเรารู้ว่าเมื่อจำนวนโหนด (ในทรีย่อยได้รับผลกระทบ) ลดลงเหลือประมาณครึ่งหนึ่งของจำนวนเดิมเนื่องจากการลบ ) ความสูงของต้นไม้ลดลงหนึ่งอัน$\mathcal{O}(1)$startnext

การแทรกสามารถทำได้ในเวลาตัดจำหน่ายการดำเนินการซิกแซก (และสิ่งที่ไม่ได้) ที่นี่จะทำให้ต้นไม้สมดุล$\mathcal{O}(\log n)$

นี่เป็นภาพร่างคร่าวๆที่ดีที่สุด เครดิตไปที่ F. Weinberg ซึ่งทำให้ฉันงงงวยกับคำถามและที่ปรึกษาของเรา M. Nebel ที่พูดถึงต้นไม้สเปรย์เกี่ยวกับตัวแปรต้นไม้ชนิดเดียวที่เราไม่เคยลอง

• แทรก: $\mathcal{O}(\log n)$
• Get-Min: $\mathcal{O}(1)$
• สารสกัดจากขั้นต่ำ: $\mathcal{O}(1)$

เวลาตัดจำหน่าย

การใช้งานที่เรียบง่ายของคิวลำดับความสำคัญ (เช่น BST ใด ๆ ที่สมดุลหรือไบนารีนาที - ฮีปมาตรฐาน) สามารถบรรลุเวลาทำงาน (ตัดจำหน่าย) เหล่านี้โดยเพียงแค่เรียกเก็บค่าใช้จ่ายของ Extract-Min เพื่อแทรกและบำรุงรักษาตัวชี้ไปยังองค์ประกอบขั้นต่ำ ตัวอย่างเช่นคุณอาจมีฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพที่จะเป็น n จากนั้นการแทรกองค์ประกอบใหม่เพิ่มความเป็นไปได้โดยO ( log n )และดังนั้นค่าใช้จ่ายในการแทรกค่าตัดจำหน่ายยังคงเป็นO ( log n )แต่ Extract-Min () จะลดความเป็นไปได้โดยΩ ( log n )และค่าตัดจำหน่าย เป็นเพียงO $cn \log n$$O(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$ )$O(1)$

กรณีที่เลวร้ายที่สุด

คุณสามารถใช้โครงสร้างข้อมูลที่มีอยู่ในวรรณกรรม: แผนผังการค้นหาด้วยนิ้วและเพียงแค่รักษาตัวชี้ไปยังองค์ประกอบขั้นต่ำ ดูแบบสำรวจนี้เพื่อดูภาพรวมและเอกสารฉบับปี 1988 โดย Levcopoulos และ Overmars สำหรับรุ่นที่พัฒนาได้ซึ่งตรงกับความต้องการของคุณ

ต้น 2-4 ต้นมีการตัดจำหน่ายที่สถานที่ที่ทราบ กล่าวคือถ้าคุณมีตัวชี้ไปยังสถานที่บางแห่งในทรีคุณสามารถลบหรือเพิ่มองค์ประกอบที่มีในเวลาO ( 1 )ตัดจำหน่าย$O(1)$$O(1)$

คุณสามารถเก็บตัวชี้ไว้ที่องค์ประกอบขั้นต่ำและโหนดรูทในทรี 2-4 ส่วนแทรกควรผ่านรูทโหนด การอัพเดตตัวชี้เป็นระดับต่ำสุดเป็นเรื่องเล็กน้อยหลังจาก deleteMin และ deleteMins เป็นเวลา (ตัดจำหน่าย)$O(1)$

หมายเหตุด้านที่น่าสนใจ: ต้นไม้สีแดงดำเป็นเพียงวิธีการดูที่ 2-4 ต้น นักออกแบบของผู้ใช้งานไลบรารีที่คาดหวัง C ++ 98 เพื่อจัดหาคอนเทนเนอร์ที่ใช้ต้นไม้สีแดงดำและมาตรฐานระบุว่าการแทรกและลบควรเป็นเวลาตัดจำหน่าย ณ สถานที่ที่รู้จัก (ซึ่งเรียกว่า "iterators" ) อย่างไรก็ตามนี่เป็นเรื่องยากกว่าต้นไม้สีแดงดำมากกว่า 2-4 ต้นเนื่องจากต้องใช้โหนดที่ทำเครื่องหมายอย่างเกียจคร้านซึ่งจำเป็นต้องเปลี่ยนสี ตามความรู้ของฉันไม่มีการใช้งานของไลบรารีมาตรฐาน C ++ 98 ตรงตามข้อกำหนดเฉพาะนั้น$O(1)$

ตามคำขอนี่คือโครงสร้างที่ฉันพบหลังจากฉันกำหนดคำถาม:

แนวคิดพื้นฐานคือการใช้ต้นไม้ Scapegoat แบบเธรด พร้อมกับตัวชี้ไปยังค่าต่ำสุด (และสำหรับการวัดที่ดี, ค่าสูงสุดเช่นกัน) ทางเลือกที่ง่ายกว่าในการทำเกลียวคือการรักษาตัวชี้และผู้สืบทอดในทุกโหนด (ซึ่งเทียบเท่าได้ง่ายกว่า แต่มีค่าใช้จ่ายมากกว่า) ฉันจะเรียกมันว่ากองแพะรับบาปเพียงเพื่อให้ชื่อ

โครงสร้างพื้นฐานนี้ช่วยให้คุณดำเนินการเหล่านี้:

• ค้นหา: รับคีย์กลับชี้ไปยังโหนดที่สอดคล้องกันในเวลา$\mathcal{O}(\log n)$
• แทรก: รับคีย์แทรกที่สำคัญในโครงสร้างที่กลับตัวชี้ไปยังโหนดว่าในเวลา$\mathcal{O}(\log n)$
• บรรพบุรุษ / ทายาท: กำหนดตัวชี้กลับทายาทหรือบรรพบุรุษในเวลา$\mathcal{O}(1)$
• Get-Min / Max: ส่งกลับตัวชี้ไปที่ต่ำสุดหรือสูงสุด

ในการวิเคราะห์ต้นไม้ Scapegoat ค่าใช้จ่ายสมดุลของการลบจะถูกวิเคราะห์เป็นแต่การวิเคราะห์ให้ค่าใช้จ่ายสมดุลของO ( 1 ) (ซึ่งจะถูกละเว้นในกระดาษตามที่พวกเขานับO ( log n) )เวลาที่ใช้ในการค้นหาโหนดที่จะถูกลบ) ดังนั้นถ้าเรามีตัวชี้ไปยังโหนดเราสามารถลบมันในเวลาคงที่ (คุณสามารถทำได้ในเธรดการค้นหาแบบไบนารีเธรดในO ( 1 )เวลา) และรวมกับO ( 1 )ค่าใช้จ่ายในการสร้างสมดุลโอ$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(1)$เวลาลบ:$\mathcal{O}(1)$

• ลบ: กำหนดตัวชี้ลบโหนดในเวลา$\mathcal{O}(1)$

รวมสิ่งนี้:

• สารสกัดจาก-Min / Max: ลบโหนดต่ำสุด / สูงสุดเวลา$\mathcal{O}(1)$

คุณสามารถทำอะไรได้มากขึ้นด้วยพอยน์เตอร์: ตัวอย่างเช่นมันไม่ยากที่จะรักษาตัวชี้ไปยังค่ามัธยฐานหรือสถิติการสั่งซื้ออื่น ๆ ดังนั้นคุณสามารถรักษาพอยน์เตอร์ดังกล่าวให้คงที่หากคุณต้องการ

บางสิ่งอื่น ๆ :

• สร้าง: รับคีย์ในเรียงลำดับสร้างกองแพะรับบาปในO ( n )เวลา$n$$\mathcal{O}(n)$
• Balance: ทำให้ต้นไม้มีความสมดุลดังนั้นจึงสร้างแผนภูมิการค้นหาแบบไบนารีที่มีความสมดุลอย่างสมบูรณ์แบบ (ลดค่าใช้จ่ายในการค้นหา) ในเวลา (คุณสามารถทำสิ่งนี้ให้คงที่ได้เร็วกว่ากระดาษที่เสนอโดยวิธีการ ชี้)$\mathcal{O}(n)$

และสุดท้ายฉันก็ค่อนข้างมั่นใจว่าคุณสามารถรองรับการปฏิบัติการเหล่านี้ได้ แต่ฉันต้องคิดถึงสิ่งเหล่านี้ให้มากขึ้นก่อนที่จะรู้สิ่งนี้อย่างแน่นอน:

• แทรก-New-Min / Max: รับสำคัญที่มีขนาดเล็ก / ขนาดใหญ่กว่าปุ่มใด ๆ แล้วในโครงสร้างแทรกที่สำคัญในโครงสร้างที่กลับตัวชี้ไปยังโหนดว่าในเวลา$\mathcal{O}(1)$

ซอฟต์ฮีพคือการแก้ไขคิวทวินามอย่างละเอียด โครงสร้างข้อมูลเป็นตัวอย่างกับข้อผิดพลาดพารามิเตอร์εสนับสนุนการแทรกลบรวมและ findmin ตัดจำหน่ายความซับซ้อนของการดำเนินการแต่ละคือO ( 1 )ยกเว้นแทรกซึ่งจะนำเข้าสู่ระบบ( 1 / ε )เวลา ความแปลกใหม่ของ heap ที่อ่อนนุ่มกำลังเต้นอยู่บนลอการิทึมที่ผูกไว้กับความซับซ้อนของ heap ในรูปแบบการเปรียบเทียบ เพื่อทำลายสิ่งกีดขวางทางทฤษฎีสารสนเทศเอนโทรปีของโครงสร้างข้อมูลจะถูกลดลงโดยการเพิ่มค่าของบางคีย์โดยไม่ตั้งใจ สิ่งนี้เรียกว่าการทำให้เสียหาย$\epsilon$$O(1)$$\log (1/\epsilon)$กุญแจ. โครงสร้างข้อมูลนั้นใช้ตัวชี้อย่างสมบูรณ์ (ไม่มีอาร์เรย์หรือสมมติฐานที่เป็นตัวเลข) และเหมาะสมที่สุดสำหรับค่าใด ๆ ของในรูปแบบการเปรียบเทียบ$\epsilon$

แอพพลิเคชั่นของซอฟต์ฮีพนั้นรวมการคำนวณทรีสแปนนิ่งขั้นต่ำสำหรับกราฟรักษาเปอร์เซ็นต์และสถิติการสั่งเวลาเชิงเส้น นอกจากนี้ยังสามารถใช้สำหรับการคำนวณโดยประมาณเช่นการเรียงลำดับโดยประมาณที่ระดับขององค์ประกอบไม่แตกต่างกันมากกว่าจากอันดับที่แท้จริง$\epsilon n$

สำหรับต้นฉบับที่ชัดเจนและกระดาษเขียนอย่างดูเบอร์นาร์ดชเซลล์, ซอฟท์กอง: การจัดลำดับความสำคัญโดยประมาณคิวที่มีข้อผิดพลาดที่เหมาะสมอัตราวารสาร ACM 47 (6), PP 1012-1027, 2000. ทางเลือกสำหรับการดำเนินงานและการวิเคราะห์ที่อ้างว่าเป็นที่เรียบง่ายและใช้งานง่ายมากขึ้นจาก SODA'09 ดูKaplan H. & U. ซวิค, การดำเนินเรียบง่ายและการวิเคราะห์ของกองนุ่ม Chazelle ของ 2009

ในที่สุดก็ได้รับความซับซ้อนที่คุณกำลังค้นหาและสิ่งที่ดีที่สุดฉันพบมันในวรรณกรรม:

ความซับซ้อนกรณีที่เลวร้ายที่สุด

$\bf\mathcal{O}(1)$

$\bf\mathcal{O}(1)$

$\bf\mathcal{O}(1)$

$\bf\mathcal{O}(log\ n)$

การอ้างอิง

[3]$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(log\ n)$$\mathcal{O}(n)$

Brodal, Gerth Stølting 'คิวลำดับความสำคัญที่สามารถเข้าใจได้อย่างรวดเร็ว' ในการประชุมเชิงปฏิบัติการนานาชาติครั้งที่ 4 เรื่องอัลกอริทึมและโครงสร้างข้อมูล, 282–290 WADS '95 ลอนดอน, อังกฤษ, สหราชอาณาจักร: Springer-Verlag, 1995

[3]: Dietz, Paul F และ Rajeev Raman 'แผนผังการค้นหาเวลาของการอัพเดทอย่างต่อเนื่อง' ตัวอักษรการประมวลผลข้อมูล 52 หมายเลข 3 (1994): 147 - 154

แม้ว่าจะใช้รูปแบบRAM ของการคำนวณ :

โครงสร้างข้อมูลของเราใช้โมเดลเครื่องเข้าถึงโดยสุ่ม (RAM) พร้อมการวัดต้นทุนต่อหน่วยและขนาดคำลอการิทึม

เมื่อเร็ว ๆ นี้เป็นตัวชี้เครื่อง[1]รุ่นของการแก้ปัญหาการคำนวณที่ได้รับ

[1]: Brodal, Gerth Stølting, George Lagogiannis, Christos Makris, Athanasios Tsakalidis และ Kostas Tsichlas 'ต้นไม้ค้นหานิ้วที่ดีที่สุดในเครื่องชี้' เจคอมพิวเตอร์ Syst วิทย์ หมายเลข 67 2 (กันยายน 2546): 381–418

ใกล้ถึงปัญหานี้โดยการบำรุงรักษาโครงสร้างข้อมูลสองรายการ: Array และ Binary Tree

$\Omega(\dfrac{\log n}{\log\log n})$$\Omega(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

null$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(1)$$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(1)$delete_at(idx)

1 Patrascu, Mihai และ Erik D. Demaine “ ขอบเขตล่างลอการิทึมในโมเดล Cell-Probe” SIAM J. Comput 35, ไม่ 4 (เมษายน 2549): 932–963 ดอย: 10.1137 / S0097539705447256

$O(1)$$O(\sqrt{log\text{ }log\text{ }n})$

ดูบทความปี 2550: ความเท่าเทียมกันระหว่างลำดับความสำคัญและการเรียงลำดับโดย Mikkel Thorup

$O(n\text{ }\sqrt{log\text{ }log\text{ }n})$

การวิเคราะห์

$\mathcal{o}(n\ log\ log\ n)$

$\mathcal{o}(log\ log\ n)$

$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(n)$

$\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(1)$

การดำเนินงาน

1. $\mathcal{O}(1)$
2. $\mathcal{O}(6)$$\mathcal{O}(1)$
3. $k$$\pm$ $$((k > n_{\text{size}-1}) \lor (k<n_{0}) \lor ((k<n_{i}) \land (k>n_{i+1})))$$ $\mathcal{o}(log\ log\ n)$

[1]: Andersson, Arne และ Christer Mattsson 'การแก้ไขแบบไดนามิกในเวลา O (บันทึกการทำงาน n) เวลา' ใน Automata ภาษาและการเขียนโปรแกรมแก้ไขโดย Andrzej Lingas, Rolf Karlsson และ Svante Carlsson, 700: 15–27 หมายเหตุการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ สปริงเกอร์เบอร์ลิน / ไฮเดลเบิร์ก, 1993 http://dx.doi.org/10.1007/3-540-56939-1_58