การผลิตเหรียญคืออะไร

ฉันเคยได้ยินเรื่องการเหนี่ยวนำ ช่วยให้คุณสามารถสร้างโครงสร้าง จำกัด จากวัตถุขนาดเล็กและให้หลักการพิสูจน์สำหรับการให้เหตุผลเกี่ยวกับโครงสร้างดังกล่าว ความคิดนั้นชัดเจนเพียงพอ

แต่สิ่งที่เกี่ยวกับการผลิตเหรียญ? มันทำงานยังไง? เราจะพูดอะไรข้อสรุปเกี่ยวกับโครงสร้างอนันต์

มีอย่างน้อยสองมุมที่จะกล่าวคือการทำเงินเป็นวิธีการกำหนดสิ่งต่าง ๆ และเป็นเทคนิคการพิสูจน์

เกี่ยวกับการจ่ายเงินเป็นเทคนิคการพิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่างการจ่ายเงินกับการแบ่งเงิน bisimulation คืออะไร?

— Dave Clarke
แหล่งที่มา

ที่จริงผมอยากจะรู้คำตอบ :) นี้

— Suresh

ดูเพิ่มเติมที่cs.cornell.edu/~kozen/papers/Structural.pdfสำหรับเอกสารการสอน

— mrp

ขั้นแรกเพื่อขจัดความไม่ลงรอยกันทางปัญญาที่เป็นไปได้: การให้เหตุผลเกี่ยวกับโครงสร้างที่ไม่มีที่สิ้นสุดไม่ใช่ปัญหาเราต้องทำมันตลอดเวลา ตราบใดที่โครงสร้างสามารถอธิบายได้อย่างละเอียดนั่นก็ไม่ใช่ปัญหา นี่คือโครงสร้างอนันต์ทั่วไปสองสามประเภท:

ภาษา (ชุดของสายอักขระบางตัวซึ่งอาจมี จำกัด );
ภาษาต้นไม้ (ชุดของต้นไม้มากกว่าตัวอักษรบางตัว);
ร่องรอยการดำเนินการของระบบที่ไม่ได้กำหนดไว้
ตัวเลขจริง
ชุดจำนวนเต็ม
ชุดฟังก์ชั่นจากจำนวนเต็มถึงจำนวนเต็ม; ...

Coinductivity เป็น fixpoint ที่ใหญ่ที่สุด

ในกรณีที่คำจำกัดความอุปนัยสร้างโครงสร้างจากหน่วยการสร้างพื้นฐานคำจำกัดความเกี่ยวกับเหรียญจะกำหนดโครงสร้างจากวิธีที่สามารถแยกโครงสร้างได้ ตัวอย่างเช่นชนิดของรายการที่มีองค์ประกอบอยู่ในชุดAจะถูกกำหนดดังต่อไปนี้ใน Coq:

Inductive list (A:Set) : Set :=
  | nil : list A
  | cons : A -> list A -> list A.

อย่างไม่เป็นทางการlistประเภทเป็นประเภทที่เล็กที่สุดที่มีค่าทั้งหมดที่สร้างขึ้นจากnilและconsก่อสร้างด้วยความจริงที่Yในทางกลับกันเราสามารถกำหนดประเภทที่ใหญ่ที่สุดที่มีค่าทั้งหมดที่สร้างขึ้นจากตัวสร้างเหล่านี้โดยรักษาสัจพจน์การเลือกปฏิบัติ: $\forall x \, y, \: \mathtt{nil} \ne \mathtt{cons} \: x \: y$

CoInductive colist (A:Set) : Set :=
  | conil : colist A
  | cocons : A -> colist A -> colist A.

listเป็น isomorphic colistย่อยของ นอกจากนี้ยังcolistมีรายการที่ไม่มีที่สิ้นสุด: รายการที่มีอยู่บนcoconscocons

CoFixpoint flipflop : colist ℕ := cocons 1 (cocons 2 flipflop).
CoFixpoint from (n:ℕ) : colist ℕ := cocons n (from (1 + n)).

flipflopเป็นอนันต์ (รายการกลม) ; เป็นรายการที่ไม่มีที่สิ้นสุดของตัวเลขธรรมชาติ ... $1::2::1::2::\ldots$ from 0 $0::1::2::\ldots$

คำจำกัดความเวียนซ้ำมีรูปแบบที่ดีหากผลลัพธ์ถูกสร้างขึ้นจากบล็อกขนาดเล็ก: การเรียกซ้ำจะต้องทำงานกับอินพุตที่เล็กลง คำจำกัดความการกัดกร่อนนั้นมีรูปแบบที่ดีถ้าผลลัพธ์สร้างวัตถุที่มีขนาดใหญ่ขึ้น การเหนี่ยวนำดูที่ตัวสร้าง โปรดทราบว่าคู่ที่ไม่เพียง แต่เปลี่ยนขนาดเล็กเป็นใหญ่ แต่ยังป้อนข้อมูลไปยังผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่นเหตุผลที่flipflopและfromคำจำกัดความข้างต้นมีรูปแบบที่ดีคือการโทรแบบคอร์แซร์เรทีฟนั้นได้รับการปกป้องโดยการเรียกไปยังตัวcoconsสร้างในทั้งสองกรณี

ในกรณีที่คำแถลงเกี่ยวกับวัตถุอุปนัยมีหลักฐานการเหนี่ยวนำ ตัวอย่างเช่นเราจะกำหนดคำจำกัดความไม่สิ้นสุดบน colists; สังหรณ์ใจที่ colists conilอนันต์เป็นคนที่ไม่ได้จบลงด้วย

CoInductive Infinite A : colist A -> Prop :=
  | Inf : forall x l, Infinite l -> Infinite (cocons x l).

เพื่อพิสูจน์ว่า colists ของแบบฟอร์มfrom nนั้นไม่มีที่สิ้นสุดเราสามารถให้เหตุผลโดยการทำเงิน จะมีค่าเท่ากับfrom n cocons n (from (1 + n))นี่แสดงให้เห็นว่าfrom nมีขนาดใหญ่กว่าfrom (1 + n)ซึ่งไม่มีที่สิ้นสุดโดยสมมติฐานการสร้างเหรียญดังนั้นจึงfrom nไม่มีที่สิ้นสุด

Bisimilarity เป็นสมบัติเชิงเหรียญ

การใช้เทคนิคการพิสูจน์แบบเหรียญก็ใช้กับวัตถุที่มีค่า การพิสูจน์อุปนัยเกี่ยวกับวัตถุนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการสร้างวัตถุ หลักฐานเชิงเหรียญขึ้นอยู่กับวิธีที่วัตถุสามารถย่อยสลายได้

เมื่อศึกษาระบบที่กำหนดขึ้นมันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะกำหนดความเท่าเทียมกันผ่านกฎอุปนัย: ระบบสองระบบนั้นเทียบเท่ากันถ้าคุณสามารถเปลี่ยนจากระบบหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่งได้ คำจำกัดความดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะล้มเหลวในการจับวิธีที่แตกต่างกันหลายระบบที่ไม่ได้กำหนดขึ้นสามารถจบลงด้วยพฤติกรรม (สังเกตได้) เดียวกันแม้จะมีโครงสร้างภายในที่แตกต่างกัน (การสะสมเหรียญยังเป็นประโยชน์ในการอธิบายระบบที่ไม่สิ้นสุดแม้ว่าพวกเขาจะกำหนดไว้แล้ว แต่นี่ไม่ใช่สิ่งที่ฉันจะมุ่งเน้นที่นี่)

ระบบ nondeterministic เช่นระบบพร้อมกันมักจะมีรูปแบบโดยระบบการเปลี่ยนแปลงที่มีป้ายกำกับ LTS เป็นกราฟกำกับที่มีการระบุขอบ แต่ละขอบแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้ของระบบ การติดตามของ LTS คือลำดับของเลเบลขอบเหนือเส้นทางในกราฟ

LTS สองตัวสามารถทำงานได้เหมือนกันโดยที่พวกเขามีร่องรอยที่เป็นไปได้เหมือนกันแม้ว่าโครงสร้างภายในของพวกเขาจะแตกต่างกัน กราฟมอร์ฟิซึมมีความแข็งแกร่งเกินกว่าที่จะนิยามความเท่าเทียม แต่จะมีการกล่าวถึงLTS เพื่อจำลอง LTS อีกครั้งหากการเปลี่ยนแปลงของ LTS ที่สองยอมรับการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในครั้งแรก อย่างเป็นทางการให้เป็นสหภาพที่แยกจากกันของรัฐของ LTS ทั้งสองชุด (สามัญ) ของป้ายกำกับและความสัมพันธ์การเปลี่ยนผ่าน ความสัมพันธ์เป็นการจำลองถ้า $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $S$ $L$ $\rightarrow$ $R \subseteq S \times S$

\forall (p, q) \in R, if p \overset{α}{\to} p^{'} then \exists q^{'}, q \overset{α}{\to} q^{'} and (p^{'}, q^{'}) \in R

$\forall (p,q)\in R, %\forall p'\in S, \forall\alpha\in L, \text{ if } p \stackrel\alpha\rightarrow p' \text{ then } \exists q', \; q \stackrel\alpha\rightarrow q' \text{ and } (p',q')\in R$

จำลองถ้ามีการจำลองที่ทุกรัฐของที่เกี่ยวข้องกับรัฐใน ถ้าเป็นแบบจำลองทั้งสองทิศทางจะเรียกว่าbisimulation การจำลองเป็นสมบัติแบบเหรียญ: การสังเกตใด ๆ ที่ด้านหนึ่งจะต้องมีการจับคู่ที่อีกด้านหนึ่ง $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{A}$ $R$

มี bisimulations จำนวนมากที่อาจเกิดขึ้นใน LTS ความแตกต่างที่ต่างกันอาจระบุถึงสถานะที่แตกต่างกัน ให้สอง bisimulations และความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยการรวมกลุ่มของกราฟความสัมพันธ์เป็น bisimulation เนื่องจากสถานะที่เกี่ยวข้องทำให้เกิดสถานะที่เกี่ยวข้องสำหรับความสัมพันธ์ทั้งสอง (สิ่งนี้มีไว้สำหรับสหภาพที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกันความสัมพันธ์ที่ว่างเปล่าคือ bisimulation ที่ไม่น่าทึ่งเช่นเดียวกับความสัมพันธ์ที่เป็นตัวตน) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความผิดเพี้ยนเป็นวิธีที่หยาบในการสังเกตระบบที่ไม่แยกความแตกต่างระหว่างรัฐที่แตกต่างกัน $R_1$ $R_2$ $R_1 \cup R_2$

Bisimilarity เป็นสมบัติแบบเหรียญ มันสามารถนิยามได้ว่าเป็น fixpoint ที่ใหญ่ที่สุดของโอเปอเรเตอร์: มันเป็นความสัมพันธ์ที่ใหญ่ที่สุดซึ่งเมื่อขยายเพื่อระบุสถานะเทียบเท่ายังคงเหมือนเดิม

อ้างอิง

Coq และแคลคูลัสของการสร้างอุปนัย
- Yves Bertot และ Pierre Castéran การพิสูจน์ทฤษฎีบทเชิงโต้ตอบและการพัฒนาโปรแกรม - ศิลปะ: แคลคูลัสของการสร้างอุปนัย . Springer, 2004 Ch. 13. [ เว็บไซต์ ] [ Amazon ]
- Eduardo Giménez แอปพลิเคชันประเภท co-inductive ใน coq: การตรวจสอบโปรโตคอลบิตที่สลับกัน ในการประชุมเชิงปฏิบัติการเรื่องประเภทการพิสูจน์และโปรแกรมหมายเลข 1158 ในบันทึกการบรรยายทางวิทยาการคอมพิวเตอร์หน้า 135–152 Springer-Verlag, 1995. [ Google Books ]
- Eduardo Giménezและ Pierre Castéran บทช่วยสอนเกี่ยวกับ [Co-] อุปนัยประเภทใน Coq 2550 [ PDF ]
ระบบการเปลี่ยนผ่านและการติดฉลากแบบแบ่งส่วน
- Robin Milner การสื่อสารและเห็นพ้องด้วย ศิษย์โถง 2532
- Davide Sangiorgi เกี่ยวกับต้นกำเนิดของ bisimulation และ coinduction ธุรกรรม ACM เกี่ยวกับภาษาโปรแกรมและระบบ (TOPLAS) เล่มที่ 31 ฉบับที่ 4 พฤษภาคม 2009 [ PDF ] [ ACM ] สไลด์ของหลักสูตรที่เกี่ยวข้อง: [ PDF ] [ CiteSeer ]
- Davide Sangiorgi พี่แคลคูลัส: ทฤษฎีกระบวนการมือถือ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2003 [ Amazon ]
  - การอ้างอิงเพิ่มเติมที่แนะนำโดยAnton Trunov
- บทในการเขียนโปรแกรมได้รับการรับรองด้วยขึ้นอยู่กับประเภทโดย A. Chlipala
- D. Sangiorgi "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ Bisimulation และการสร้างเหรียญ" 2554 [ PDF ]
- D. Sangiorgi และ J. Rutten หัวข้อขั้นสูงใน Bisimulation และ Coinduction สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2555 [ CUP ]

— กิลส์
แหล่งที่มา

ให้เราพิจารณาคำนิยามอุปนัยต่อไปนี้:

$\qquad \displaystyle \begin{align*} &\phantom{\Rightarrow} \quad \varepsilon \in \mathcal{T} \\ w \in \mathcal{T} \quad &\Rightarrow \quad aw \in \mathcal{T}\\ aw \in \mathcal{T} \quad &\Rightarrow \quad baw \in \mathcal{T} \end{align*}$

$\mathcal{T}$ $b$

$\qquad \displaystyle \mathcal{T} =\{\varepsilon, a, aa, ba, aaa, aba, \dots\} = \mathcal{L}\left((ba\mid a)^*\right) \subseteq \Sigma^*.$

$\mathcal{T}$ $\mathcal{T}=\{a,b\}^*$

$f : 2^{\Sigma^\infty} \to 2^{\Sigma^\infty}$

$\qquad f(T) = T \cup \{\varepsilon\} \cup \{aw \mid w\in T\} \cup \{baw \mid aw \in T\}$

$\mathcal{T}$ $f$ $f$ $\left(2^{\Sigma^\infty},\subseteq\right)$ $\{\varepsilon\}$ $\mathcal{T}$

$w$ $aw$ $aw$ $w$ $\mathcal{T}'$ $\mathcal{T}'$ $\Sigma^\infty$ $bb$ $\mathcal{T}'=\mathcal{L}\left((ba\mid a)^\omega\right)$

$f$ $\mathcal{T}'$ $\mathcal{T}'$ $\{\varepsilon\}$ $\Sigma^\infty$

โน้ต:

$\Sigma^\infty = \Sigma^* \cup \Sigma^\omega$
$\Sigma^\omega$ $\Sigma$

$w \in \mathcal{T} \Rightarrow aw \notin \mathcal{T}$
$\{\varepsilon\}$

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

ฉันหวังว่าคำอธิบายอุปนัยเหมาะสม

— Raphael

ω

$\omega$

ω

$\omega$

Σ^{\infty}

$\Sigma^\infty$

คำอธิบายที่ดี อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจประโยคWe can not turn the anchor around, so it goes awayนี้

— hengxin

ε \in T^{'}

$\varepsilon \in \mathcal{T}'$

ε \notin T^{'}

$\varepsilon \not\in \mathcal{T}'$