มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาการครอบรอบจุดสุดยอดนี้หรือไม่?

ฉันพยายามค้นหาอัลกอริธึมเพื่อหาจุดสุดยอดวงรอบสูงสุดของกราฟกำกับ - นั่นคือชุดของวงรอบที่แยกจากกันซึ่งมีจุดยอดทั้งหมดในกับรอบที่มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ (เราไม่พิจารณา จุดยอดบุคคลรอบที่นี่) ฉันรู้ว่าปัญหาในการค้นหาจุดสุดยอดวงรอบขั้นต่ำเช่นเดียวกับการค้นหาจุดสุดยอดวงรอบที่มีรอบคือ NP-complete แต่กรณีสูงสุดคืออะไร?G $G$$G$$k$

ในขณะที่ฉันจะหาคำตอบสำหรับสิ่งที่น่าสนใจนี้โดยทั่วไปกราฟที่ฉันต้องการใช้สำหรับสิ่งนี้ถูก จำกัด โดยการก่อสร้างของพวกเขาดังนั้นแม้ว่าปัญหานั้นจะเกิดจากปัญหา NP-complete อาจจะมีคำตอบพหุนามสำหรับอินสแตนซ์เหล่านี้

เรามีรายการจำนวนเต็ม , องค์ประกอบและเราจะใช้ , องค์ประกอบเพื่ออ้างถึงหลังจากเรียงลำดับแล้ว ตัวอย่างเช่น:ลิตรฉัน S s ฉัน$L$$l_i$$S$$s_i$$L$

จุดยอดของกราฟจะถูกระบุด้วยคู่เช่นว่าและn กราฟมีขอบกำกับและถ้าหากn (วัฏจักรในกราฟนี้สอดคล้องกับชุดของค่าที่สามารถเปลี่ยนรูปแบบแบบวนรอบซึ่งจะสิ้นสุดในตำแหน่งที่เรียงลำดับ)l i = n s i ≠ n ( n , i ) → ( m , j ) s j = $(n, i)$$l_i = n$$s_i \neq n$$(n, i) \rightarrow (m, j)$$s_j = n$

ตัวอย่างข้างต้นจะให้กราฟต่อไปนี้ (โดยใช้ดัชนีที่อิง 1):

สิ่งหนึ่งที่ไม่ได้ผลคือวิธีโลภในการลบรอบที่เล็กที่สุดซ้ำแล้วซ้ำอีก (ดังตัวอย่างนี้แสดง)

โปรดทราบว่าปัญหานี้คือ (ถ้าฉันไม่ได้ทำผิดพลาดใด ๆ ) เทียบเท่ากับการถามจำนวนแลกเปลี่ยนที่คุณต้องการเรียงลำดับรายการที่กำหนด (สิ่งที่เป็นแรงบันดาลใจให้มองปัญหานี้ตั้งแต่แรก)

$|C|-1$$|C|$$-1$.) นั่นคือน้ำหนักขึ้นอยู่กับขนาดของรอบไม่ใช่ขอบโดยเฉพาะ แต่นี่อาจทำให้คนอื่นคิดว่าจะลดปัญหาได้อย่างไร

นอกจากนี้ยังปรากฏว่าการจำกัด ขนาดของรอบทำให้เกิดปัญหา APX-hard สำหรับกราฟทั่วไป สิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าสิ่งนั้นจะเป็นจริงสำหรับงานของการเพิ่มจำนวนรอบสูงสุดหรือสำหรับกราฟที่เฉพาะเจาะจงภายใต้การพิจารณาที่นี่ แต่ดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดพอที่จะมีความสำคัญ

โดยสรุป: สามารถพบความครอบคลุมสูงสุดของจุดยอดรอบสำหรับกราฟที่สร้างจากกระบวนการข้างต้นได้หรือไม่

ในฐานะที่เป็นผู้ช่วยสองคนฉันยังสนใจด้วยว่าจุดยอดสูงสุดของวงรอบ disjoint cycle นั้นมีวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพสำหรับกราฟตามอำเภอใจที่ยอมรับอย่างน้อยหนึ่งรอบวงรอบ (ซึ่งอาจจะเป็นคำตอบสำหรับคำถามหลัก) เพียงแค่กำหนดจำนวนรอบในการครอบคลุมสูงสุด (ตรงข้ามกับขอบจริงที่มีอยู่ในแต่ละ) ทำให้ปัญหาง่ายขึ้น ฉันยินดีที่จะโพสต์คำถามเหล่านี้แยกต่างหากหากผู้คนคิดว่าพวกเขาสมควรได้รับคำตอบแบบเต็มเปี่ยมด้วยตนเอง

$G$$k$$k=2$$k=3$ $k$$k$

$G$$G$$((3/5)-\epsilon)$$\epsilon > 0$

สำหรับรายละเอียดและหลักฐานการอ้างสิทธิ์ข้างต้นโปรดดู [1]

[1] Bläser, Markus และ Bodo Manthey "อัลกอริธึมการประมาณสองแบบสำหรับการครอบคลุม 3 รอบ" อัลกอริธึมการประมาณค่าเพื่อการหาค่าเหมาะที่สุดแบบ Combinatorial Springer Berlin Heidelberg, 2002. 40-50.