ภาษาทัวริงใด ๆ ที่ไม่สามารถนับได้หรือไม่?

มีหลายภาษา (และฉันหมายถึงหลายภาษา) ซึ่งนับได้ว่าเป็นทัวริงได้ ภาษาที่นับไม่ได้ใด ๆ สามารถทัวริงได้

ทุกภาษาที่มีตัวอักษร จำกัด (หรือนับได้) จะนับได้ สมมติว่าตัวอักษรของเครื่องจักรทัวริงมี จำกัด ภาษาใด ๆ ที่มันสามารถยอมรับได้นั้นสามารถนับได้

เราสามารถมีภาษาที่นับไม่ได้ แต่ถ้าเรายอมให้คำพูดของความยาวไม่มีที่สิ้นสุดดูตัวอย่างภาษา Omega-ปกติ ภาษาเหล่านี้เรียกว่า$\omega$ -languages อีกตัวอย่างหนึ่งคือภาษาของชุดย่อยของ reals ซึ่งประกอบด้วยการพูดการขยายทศนิยมของจำนวนจริงทั้งหมด

มีบางรุ่นที่ทัวริงเครื่องจักรมีการปรับเปลี่ยนเพื่อยอมรับภาษา บางส่วนของรูปแบบเหล่านี้ใช้เงื่อนไข Buchi เพื่อรับการยอมรับ เนื่องจากคุณไม่สามารถเห็นอินพุตทั้งหมดในเวลา จำกัด เราจึงกล่าวว่าอินพุตนั้นได้รับการยอมรับหากเครื่องทัวริงเข้าสู่สถานะการยอมรับหลายครั้งอย่างไม่สิ้นสุด หากเราสามารถพิสูจน์ได้โดยการวิเคราะห์อินพุท (ไม่ใช่โดยรันมัน) เราบอกว่าอินพุตนั้นเป็นที่ยอมรับ$\omega$

ความสามารถในการคำนวณแบบคลาสสิกกล่าวถึงฟังก์ชั่นมากกว่าสายอักขระที่ จำกัด จากตัวอักษรที่ จำกัด ดังนั้นทุกภาษาไม่ว่าจะเป็น decidable หรือ undecidable

ในการพิจารณาภาษาที่นับไม่ได้ เราต้องพิจารณาสตริงที่ไม่สิ้นสุดแทนสตริง จำกัด (AFAIK การมีตัวอักษรไม่สิ้นสุดไม่น่าสนใจมากและไม่สอดคล้องกับรูปแบบการคำนวณที่เหมือนจริงด้วยตัวเอง)

มีรูปแบบการคำนวณที่เราสามารถจัดการกับสตริงที่ไม่สิ้นสุดซึ่งทำให้เราสามารถแสดงวัตถุจากโดเมนที่ไม่สามารถนับได้เช่นจำนวนจริง สิ่งเหล่านี้มักแสดงว่าเป็นการคำนวณประเภทที่สูงกว่า รุ่นหนึ่งที่ใช้เครื่องจักรทัวริงคือรุ่น TTE ในรูปแบบนี้การป้อนข้อมูลสามารถเป็นสตริงที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเครื่องสามารถเข้าถึงรายการใด ๆ ในสตริงที่ต้องการ เครื่องไม่จำเป็นต้องยกเลิก แต่มีเงื่อนไขเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ของเครื่องมาบรรจบกัน

สมมติว่าการป้อนข้อมูลเครื่องของเราอยู่ห่างจากคือสตริงอนันต์จากตัวอักษรΣเช่นΣ = { 0 , 1 } จากนั้นมีสตริงΣ N = 2 N ดังนั้นจึงมีภาษาที่เป็นไปได้2 2 N จำนวนเครื่อง TTE ทัวริงยังคงนับได้ ดังนั้นภาษาเหล่านี้ส่วนใหญ่จึงไม่สามารถตัดสินใจได้$\Sigma^\omega$$\Sigma$$\Sigma = \{0,1\}$$\Sigma^\mathbb{N} = 2^\mathbb{N}$$2^{2^\mathbb{N}}$

แต่มีบางสิ่งที่น่าสนใจมากขึ้นที่นี่: หากคุณต้องการให้เครื่องหยุดอยู่เสมอมันจะสามารถอ่านเฉพาะส่วนเริ่มต้นที่แน่นอนของอินพุต ด้วยเหตุนี้เราจึงมีสิ่งต่อไปนี้: ให้เป็นเครื่องจักร TTE ที่จะหยุด (เสมอในเวลา จำกัด ) จากนั้นก็มีคำนำหน้าฟรีภาษาL ∈ Σ *และเครื่องจักรทัวริงไม่มีข้อความดังกล่าวว่าสำหรับการใด ๆx ∈ Σ โอห์ม , Mยอมรับx IFF Nยอมรับส่วนเริ่มต้นของxที่อยู่ในL$M$$L \in \Sigma^*$$N$$x\in \Sigma^\omega$$M$$x$$N$$x$$L$

ในการพูดอย่างง่าย ๆ การคำนวณของเครื่อง TTE ทัวริงที่หยุดจะถูกกำหนดโดยการคำนวณของเครื่องจักรทัวริงในขอบเขต จำกัด

ให้ฉันยกตัวอย่างบางส่วนของภาษา decidable และ undecidable ของสตริงไม่สิ้นสุด:

1. $k\in \mathbb{N}$$k$$k$$3$$6$ตำแหน่งที่คือ 1

2. $0$$10$ 10

3. $L_i$$L = \cup_i L_i$$L$$L$$L$

4. ภาษาสามารถตัดสินได้ถ้าทั้งภาษาและส่วนประกอบนั้นเป็นแบบกึ่งตัดสินใจได้

5. ภาษาที่มีสตริง inifinite 0 ไม่สามารถตัดสินใจได้ นี่อาจดูแปลก แต่ลองดูด้วยวิธีนี้: เมื่ออ่านสตริงเมื่อสามารถหยุดและพูดว่าอินพุตประกอบด้วย 0 ทั้งหมดหรือไม่ ถ้าคุณหยุดหลังจากอ่าน$k$ 0s เครื่องของคุณจะยอมรับภาษาที่เริ่มต้นด้วย $k$0s และตามด้วย 1s ทั้งหมด โปรดทราบว่าการเข้าถึงอย่างเดียวที่เรามีกับสตริงในรุ่นนี้คือการขอบิตและรับมัน

นี่อาจทำให้คุณคิดว่า TTE ไม่ใช่รุ่นที่น่าสนใจ แต่ปรากฎว่าการคำนวณสตริงที่ไม่สิ้นสุดโดยใช้โมเดล TTE นั้นน่าสนใจทีเดียว มันขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณว่าการรับส่วน จำกัด ใด ๆ ของผลลัพธ์ที่คุณสามารถอ่านได้เฉพาะส่วนแน่นอนของอินพุต กล่าวอีกนัยหนึ่งข้อมูล จำกัด ใด ๆ เกี่ยวกับผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับจำนวน จำกัด ของข้อมูลเกี่ยวกับอินพุตเท่านั้น ปรากฎว่าฟังก์ชั่นที่เราสนใจคำนวณตามกฎนี้มิฉะนั้นเราไม่สามารถคำนวณได้ เช่นลองอ่านตัวเลขที่เข้ารหัสเป็นสตริงไบนารี่และฟังก์ชั่น$x \mapsto \lg x$. เราให้ค่าประมาณที่ จำกัด ของจำนวน$x$ ไปที่เครื่องและจะคืนค่าตัวเลขที่ประมาณ $\lg x$ สำหรับพวกเรา.

สิ่งเหล่านี้มากมายกลายเป็นสัญชาตญาณมากขึ้นถ้าคุณรู้โทโพโลยีเล็กน้อย แนวคิดที่สำคัญที่นี่คือเราสามารถกำหนดทอพอโลยีข้อมูลบนสตริงและด้วยความเคารพต่อทอพอโลยีฟังก์ชันที่คำนวณใด ๆ จะต้องดำเนินการต่อไป เป็นผลให้เมื่อเรามีฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ทั้งหมด$f$ ที่มีรหัสคือ $\{0,1\}$ $f^{-1}(1)$ has to be clopen. Other realistic models of computation over real numbers (not just floating point but really infinite real numbers) have this property. If you are interested a good place to read about TTE is Klaus Weihrauch's book "Computable Analysis". There are also lots of other references on the website for Computability and Complexity in Analysis Network.