ฮีปที่หลอมรวมแบบสุ่ม - ความสูงที่คาดหวัง

Randomized Meldable Heapsมีการดำเนินการ "meld" ซึ่งเราจะใช้เพื่อกำหนดการปฏิบัติการอื่น ๆ ทั้งหมดรวมถึงส่วนแทรก

คำถามคืออะไรคือความสูงที่คาดหวังของต้นไม้นั้นด้วย $n$ โหนด?

ทฤษฎีบทที่ 1 ของ Gambin และ Malinkowski, คิวลำดับความสำคัญที่หลอมรวมแบบสุ่ม (การดำเนินการตาม SOFSEM 1998, บันทึกการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ปีที่ 1521, หน้า 344–349, 1998; PDF ) ให้คำตอบสำหรับคำถามนี้พร้อมหลักฐาน อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจว่าทำไมเราถึงเขียน:

E [h_{Q}] = \frac{1}{2} ((1 + E [h_{Q_{L}}]) + (1 + E [h_{Q_{R}}])) .

$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$

สำหรับฉันความสูงของต้นไม้คือ

h_{Q} = 1 + max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}},

$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$

ซึ่งฉันสามารถขยายไปยัง:

E [h_{Q}] = 1 + E [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}}] = 1 + \sum k P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] .

$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$

ความน่าจะเป็นที่ความสูงสูงสุดของทรีย่อยสองตัวเท่ากับ $k$ สามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้กฎความน่าจะเป็นทั้งหมด:

\begin{aligned} P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] \\ = P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] \\ = P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] . \end{aligned}

$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$

ดังนั้นในตอนท้ายฉันจะได้รับ:

\begin{aligned} E [h_{Q}] & = 1 + \sum k {P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}]} . \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$

ซึ่งเป็นที่ที่ผมติดอยู่ ฉันเห็นว่ามากกว่าหรือน้อยกว่า (แต่เราต้องการมากที่สุด ) . แต่ยกเว้นอะไรที่นำไปสู่สูตรจากจุดเริ่มต้น $\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$ $\frac{1}{2}$ $\leq \frac{1}{2}$

ความสูงของต้นไม้ย่อยดูเหมือนจะไม่เป็นอิสระสำหรับฉัน

ขอบคุณที่ช่วยเหลือ.

— Mateusz Wyszynski
แหล่งที่มา

ในกระดาษไม่ใช่ความสูง มันคือความยาวของการเดินสุ่มจากรากในต้นไม้ไบนารีเต็ม (พวกเขายืนยันว่าใบไม้ทุกใบคือ "ศูนย์") ดังนั้นการแสดงออกที่พวกเขามีคือสิ่งที่ถูกต้อง $h_Q$

นอกจากนี้คุณสามารถหลีกเลี่ยงการเหนี่ยวนำ น่าจะเป็นของตอนจบที่ใบที่เฉพาะเจาะจงของความลึกเป็นเพียงd} ดังนั้นความยาวที่คาดหวังของการเดินคือ $d$ $2^{-d}$

\sum_{ℓ \in leaves (Q)} depth (ℓ) 2^{- depth (ℓ)}

$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$

ซึ่งเอนโทรปีของการแจกชุดของขนาด. $|\text{leaves}(Q)|$

— หลุยส์
แหล่งที่มา

คุณช่วยอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมได้ไหมว่าทำไมฉันไม่ต้องใช้อุปนัย? ฉันเห็นด้วยกับสูตรสำหรับความยาวที่คาดหวัง ฉันไม่เห็นว่าทำไมมันควรจะเป็น O (logn)? คุณหมายถึงอะไรโดยเอนโทรปีของการกระจายในสตริง?

— Mateusz Wyszyński

เพราะเอนโทรปีของการกระจายในชุดของขนาดที่เป็นที่รู้จักกันดีที่จะขยายโดยการกระจายชุดซึ่งในกรณีนี้มันเป็นn

n

$n$

\log n

$\log n$

— หลุยส์