การบีบอัดจำนวนเต็มสองจำนวนโดยไม่สนใจคำสั่ง

การเปรียบเทียบคู่ที่สั่ง (x, y) กับคู่ที่ไม่ได้เรียงลำดับ {x, y} (ชุด) จากนั้นข้อมูลตามหลักเหตุผลความแตกต่างเป็นเพียงหนึ่งบิตราวกับว่า x มาก่อนหรือ y ต้องการบิตเพียงเล็กน้อยในการเป็นตัวแทน

ดังนั้นถ้าเราได้ชุด {x, y} โดยที่ x, y เป็นจำนวนเต็ม 32- บิตที่แตกต่างกันสองชุดเราสามารถแพ็คมันเป็น 63 บิต (แทนที่จะเป็น 64) ได้ไหม? คุณควรกู้คืนจำนวนเต็ม 32 บิตต้นฉบับจากผลลัพธ์ 63 บิต แต่ไม่สามารถกู้คืนคำสั่งซื้อได้

ใช่หนึ่งสามารถ หากให้จับคู่ชุดกับหมายเลข$x<y$$\{x,y\}$

มันง่ายที่จะแสดงว่าเป็น bijective และสามารถถอดรหัสได้อย่างมีเอกลักษณ์ นอกจากนี้เมื่อเรามีดังนั้นแผนที่นี้จะตั้งค่าเป็นจำนวน 63 บิตy) เพื่อถอดรหัสคุณสามารถใช้การค้นหาไบนารีหรือใช้ราก:ควรจะอยู่ที่ประมาณ\$f$$0 \le x < y < 2^{32}$$0 \le f(x,y) < 2^{63} - 2^{31}$$\{x,y\}$$f(x,y)$$y$$y$$\lfloor \sqrt{2 f(x,y)} \rfloor$

นอกเหนือจากคำตอบของ DW โปรดทราบว่านี่เป็นกรณีพิเศษของระบบCombinatorial Numberซึ่งจะทำการแมปลำดับการลดลงของจำนวนเต็มไม่เป็นลบถึง c k > ⋯ > c $k$$c_k > \cdots > c_1$

หมายเลขนี้มีการตีความง่าย ๆ ถ้าเราเรียงลำดับตามพจนานุกรมเหล่านี้แล้วจะนับจำนวนของลำดับที่เล็กกว่า$N$

ในการถอดรหัสเพียงกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดเช่นและถอดรหัสเป็นผลลัพธ์( c $c_k$N- ( c$\binom{c_k}{k} \leq N$ (k-1$N - \binom{c_k}{k}$$(k-1)$

จำนวนรวมของคู่เรียงลำดับของตัวเลขในชุดของเป็น 2 จำนวนรวมของการเรียงลำดับของคู่ที่แตกต่างกันจำนวนเป็น 2 มันต้องใช้เวลาบิตเพื่อเป็นตัวแทนของคู่ได้รับคำสั่งของตัวเลขและถ้าคุณมีหนึ่งบิตน้อยกว่าคุณสามารถแสดงองค์ประกอบของพื้นที่ขึ้นไป2/2 จำนวนคู่ที่ไม่ได้สั่งแตกต่างกันนั้นมีจำนวนมากกว่าครึ่งของจำนวนคู่ที่สั่งซื้อเล็กน้อยดังนั้นคุณจึงไม่สามารถบันทึกเล็กน้อยในการเป็นตัวแทนได้ จำนวนคู่ที่ไม่ได้เรียงลำดับจะน้อยกว่าครึ่งเล็กน้อยดังนั้นคุณสามารถบันทึกได้เล็กน้อยN ( N + 1 ) / 2 N ( N - 1 ) / 2 2 ล็อก2 ( N ) = เข้าสู่ระบบ2 ( N 2 ) N 2 /$N$$N(N+1)/2$$N(N-1)/2$$2 \log_2(N) = \log_2(N^2)$$N^2/2$

สำหรับรูปแบบการปฏิบัติที่ง่ายต่อการคำนวณโดยที่เป็นพลังของ 2 คุณสามารถทำงานกับการแสดงค่าบิต ใช้ที่เป็นแฮคเกอร์ (ที่บิตพิเศษหรือ) ผู้ประกอบการ คู่สามารถกู้คืนจากทั้งหรือy) ตอนนี้เราจะค้นหาเคล็ดลับในการบันทึกหนึ่งบิตในส่วนที่สองและให้บทบาทสมมาตรกับและเพื่อไม่ให้คำสั่งซื้อคืนได้ ได้รับการ cardinality การคำนวณข้างต้นเรารู้ว่าโครงการนี้จะไม่ทำงานในกรณีที่ ya = x ⊕ y ⊕ { x , y } ( a , x ) ( a , y ) x y x = $N$$a = x \oplus y$$\oplus$$\{x,y\}$$(a, x)$$(a, y)$$x$$y$$x=y$

ถ้ามีตำแหน่งบิตที่แตกต่างกันบ้าง ฉันจะเขียนสำหรับบิตของ TH (เช่น ) และเช่นเดียวกันสำหรับปีให้รับตำแหน่งบิตที่เล็กที่สุดที่และแตกต่างกัน:เป็นที่เล็กที่สุดเช่นว่าy_i เป็นเล็กที่สุดที่ : เราสามารถกู้จากได้ ให้เป็นหรือx $x \ne y$$x_i$x x = Σ ฉันx ฉัน2 ฉัน Y k x Y k ฉันx ฉัน ≠ Y ฉัน k ฉันฉัน = 1 k ขx Y k ข= Σ ฉัน< k x ฉัน2 ฉัน + Σ ฉัน> k x ฉัน2 i - 1 b = ∑ i < k$i$$x$$x = \sum_i x_i 2^i$$y$$k$$x$$y$$k$$i$$x_i \ne y_i$$k$$i$$a_i = 1$$k$$a$$b$$x$$y$ด้วยการลบบิตที่ (เช่นหรือ ) - เพื่อให้ได้ส่วนการก่อสร้างที่รับถ้าและและเลือกถ้าและ 0 ใช้เพื่อใช้แทนของคู่ คู่เดิมสามารถกู้คืนได้โดยคำนวณบิตลำดับต่ำสุดที่กำหนดใน , แทรก 0 บิตที่ตำแหน่งนี้ใน (ให้ผลตอบแทนหนึ่งในหรือ ) และรับ xor ของตัวเลขนั้นด้วย$k$$b = \sum_{i<k} x_i 2^i + \sum_{i>k} x_i 2^{i-1}$ x x k = 0 y k = 1 y x k = 1 y k = 0 ( a , b ) a b x y $b = \sum_{i<k} y_i 2^i + \sum_{i>k} y_i 2^{i-1}$$x$$x_k=0$$y_k=1$$y$$x_k=1$$y_k=0$$(a,b)$$a$$b$$x$$y$$a$ (ให้ผลองค์ประกอบอื่น ๆ ของคู่)

ในการแทนค่านี้สามารถเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใด ๆ และสามารถเป็นตัวเลขใด ๆ ที่มีครึ่งหนึ่งของช่วง นี่คือการตรวจสุขภาพจิต: เราได้รับจำนวนที่คาดหวังของการเป็นตัวแทนของคู่ที่ไม่มีลำดับ$a$$b$

ใน pseudocode ด้วย^, &, |, <<, >>, ~เป็น C-เช่นผู้ประกอบการระดับบิต (xor และหรือซ้ายกะขวากะเติมเต็ม):

encode(x, y) =
  let a = x ^ y
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let z = if x & (1 << k) = 0 then x else y
  return (a, (z & low_mask) | (z & ~low_mask) >> 1)
decode(a, b) =
  let k = lowest_set_bit_position(a)
  let low_mask = (1 << k) - 1
  let x = (b & low_mask) | ((b & ~low_mask) << 1)
  return (x, a ^ x)

หลักฐานที่ไม่เป็นโครงสร้าง: มีไม่มีการเรียงลำดับ คู่ของจำนวนเต็ม 32- บิตที่แตกต่างกัน$(2^{32}\times 2^{32} - 2^{32})/2 = 2^{31}(2^{32}-1)<2^{63}$