ฟังก์ชันใดที่สามารถคำนวณนิพจน์แคลคูลัสได้

นิพจน์ combinator (สมมุติในพื้นฐาน SK) อาจถูกคิดว่าเป็นฟังก์ชั่นที่แมปนิพจน์แคลคูลัสของ combinator กับนิพจน์แคลคูลัสของ combinator นั่นคือเราสามารถนึกถึงนิพจน์เป็นฟังก์ชันX : L → Lโดยที่Lคือชุดของนิพจน์ combinator ที่ถูกต้องทั้งหมดในไวยากรณ์ SK การแมปนี้ดำเนินการโดยใช้อินพุตกับนิพจน์แล้วลดเป็นรูปแบบปกติเพื่อรับเอาต์พุต$X$$X:L \to L$$L$

ตั้งแต่พื้นฐาน SK เป็นทัวริงสมบูรณ์หนึ่งอย่างไร้เดียงสาอาจจะคิดว่ามีอยู่หนึ่ง SK แสดงออกว่าการดำเนินการใด ๆ ฟังก์ชั่นคำนวณจากLเพื่อL อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่กรณีที่ชัดเจนเนื่องจากผลลัพธ์ของการลดลงจะอยู่ในรูปแบบปกติเสมอ ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางที่นิพจน์จะมีเอาต์พุตที่ไม่อยู่ในรูปแบบปกติ$X$$L$$L$

ดังนั้นฉันคิดว่านิพจน์ SK แคลคูลัสเป็นการจับคู่กับL ′โดยที่L ′คือเซตของนิพจน์ SK ในรูปแบบปกติ มันเป็นกรณีที่สำหรับแผนที่คำนวณใด ๆF : L ' → L 'มีการแสดงออก SK Xที่ใช้แผนที่นี้อย่างไร? หรือมีข้อ จำกัด เพิ่มเติมเกี่ยวกับชุดฟังก์ชันที่สามารถคำนวณโดยนิพจน์แคลคูลัสของ combinator ด้วยวิธีนี้หรือไม่$L'$$L'$$L'$$f:L'\to L'$$X$

ที่จะได้รับการกลิ้งลูกและในความหวังของคนอื่น ๆ ให้คำตอบลึกและเพิ่มเติมรายละเอียดเกี่ยวกับโครงสร้างของฟังก์ชั่น -definable L ' → L 'ให้ฉันกล่าวถึงผลที่ตามมาจาก 20.3.3 Barendregts' แลมบ์ดาแคลคูลัสใช้ไวยากรณ์และ ความหมาย (aka "พระคัมภีร์")$\lambda$$L'\to L'$

$\delta:L'^2\to L'$

$$\delta(M, N) = \cases{\mathrm{True}\mbox{ if }M=_{\beta\eta}N\\ \mathrm{False}\mbox{ otherwise}}$$ $\lambda$$D$ $$D\ M\ N =_{\beta\eta} \delta(M,N)$$ $M,N\in L'$

$F$$n\in\mathbb{N}$$P_1,\ldots,P_n$

$$F\ x\ P_1\ldots P_n =_{\beta\eta} x\ Q_1\ldots Q_k$$

$k$$Q_1,\ldots,Q_k$$D$$\delta$$D$