เกณฑ์พื้นฐานสำหรับแคลคูลัสของ combinator

เป็นที่ทราบกันดีว่า Combinators S และ K นั้นเป็นพื้นฐานสำหรับแคลคูลัสของ combinator ในแง่ที่ว่า combinators อื่น ๆ สามารถแสดงในรูปของมันได้ นอกจากนี้ยังมีพื้นฐานของ B, C, K, W ของ Curry ซึ่งมีคุณสมบัติเหมือนกัน ต้องมีจำนวนฐานดังกล่าวไม่ จำกัด แต่ฉันไม่รู้จักผู้อื่น

ผมทราบว่ามีจำนวนของฐานเดียว Combinator เช่น Combinator เล็กน้อยและอื่น ๆ สร้าง / การตรวจสอบโดยฟอก อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้คือ "ผู้ประสาน" ที่ไม่เหมาะสมซึ่งหมายความว่าพวกเขาแสดงออกในแง่ของผู้รวมกลุ่มคนอื่น ๆ มากกว่าเป็นนามธรรมที่บริสุทธิ์ ¹ เพื่อจุดประสงค์ของคำถามนี้ฉันสนใจเฉพาะชุดพื้นฐานที่ประกอบด้วยผู้ประกอบการที่เหมาะสม

มีการศึกษาพื้นฐานที่เป็นไปได้อื่น ๆ อีกหรือไม่ อุดมคติจะเป็นบางสิ่งบางอย่างตามแนวการศึกษา Wolfram ของการคำนวณรูปแบบอื่น ๆ อีกมากมายซึ่งเป็นการผสมผสานระหว่างการศึกษาอย่างเป็นระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจว่าตัวอย่างง่ายๆของสิ่งต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกัน:

• ชุดพื้นฐานที่น้อยที่สุดซึ่งรวมถึงตัวฉัน combinator (ฉันใช้ "น้อยที่สุด" เพื่อหมายความว่าหากคุณลบสมาชิกใด ๆ มันจะหยุดเป็นพื้นฐานดังนั้นพื้นฐานของ SKI จะไม่นับ)
• ชุดพื้นฐานขั้นต่ำที่รวม Y combinator หรือ combinator (aka mockingbird)$\omega$

ข้อมูลอื่น ๆ เกี่ยวกับฐานที่เป็นไปได้อื่น ๆ สำหรับตรรกะเชิงการรวมนอกเหนือจาก S, K และ B, C, K, W จะเป็นประโยชน์จริง ๆ

ในฐานะที่เป็นวงกว้างฉันสนใจในการศึกษาแคลคูลัสแบบ combinatory เป็นระบบกลไกล้วนๆเช่นชุดของกฎการแปลงในต้นไม้ไบนารีที่มีโหนดที่ติดป้ายซึ่งไม่จำเป็นต้องตีความความหมายโดยเฉพาะ คำแนะนำใด ๆ ต่อทรัพยากรที่ใช้แนวทางนี้จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก ( การเยาะเย้ยนกกระเต็นใช้วิธีนี้ แต่ให้การนำเสนอที่ไม่สมบูรณ์ในขณะที่แลมบ์ดาของแคลคูลัสของ Barendregt นั้นเชื่อมโยงกับความหมายเป็นอย่างมากทำให้มันยากสำหรับฉันที่จะแยกแง่มุมทางกลไกอย่างหมดจดที่ฉันสนใจ)

¹ _{เพื่อความแม่นยำ: ในแคลคูลัสแลมบ์ดา combinator ที่เหมาะสมคือการแสดงออกของรูปแบบ , ที่P ( x 1 , x 2 , … )มีเพียงx 1 , x 2เป็นต้นเป็นตัวแปรอิสระและไม่มี abstractions ใด ๆ ตัวอย่างเช่น( λ x y z . x ( $(\lambda.x_1x_2\dots P(x_1,x_2,\dots))$$P(x_1,x_2,\dots)$$x_1$$x_2$เป็น combinator ที่เหมาะสม แต่ ( λ x . x ( λ y . y ) )ไม่ใช่เพราะมันมี xนำไปใช้กับคำแลมบ์ดา$(\lambda x y z. x(z z))$$(\lambda x. x(\lambda y.y) )$$x$}

$C$$T = (\lambda x y. y x)$$W$$\omega = (\lambda x. x x)$$C$$W$$C = B(T(B B T))(B B T)$$W = C(B \omega(B B T))$

ชุดของ combinators ใด ๆ ที่มี combinator cancellative (เช่น K), combinator เรียบเรียง (เช่น B), combinator permuting (เช่น C), combinator ซ้ำ (เช่น W) และ combinator เอกลักษณ์ฉันเป็นพื้นฐาน หากผู้เขียน combinator ของฉันได้มาจากผู้ประสานงานอีกสี่คนของคุณนั่นก็เพียงพอแล้ว

ซึ่งหมายความว่าบางสิ่งเช่น B, T, M, K, I โดยที่ Tab = ba และ Ma = aa ก็เป็นพื้นฐานเช่นกัน อันที่จริง B, T, M, K พอเพียงเพราะฉันอาจจะได้มาจาก B, T, M, K (นี่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะพิสูจน์หลักฐานคือการพิสูจน์ครั้งแรกจาก S, B, T, M และจากนั้นฉัน = SKK.)