เหตุใดนิพจน์ทั่วไปที่นิยามไว้ด้วยการรวมกันเป็นสหภาพการต่อเรียงและการติดดาว?

11

expresssion ปกติจะถูกกำหนดเป็นซ้ำ

$a$ สำหรับบางคนคือการแสดงออกปกติ $a \in \Sigma$
$\varepsilon$ เป็นนิพจน์ทั่วไป
$\emptyset$ เป็นนิพจน์ทั่วไป
$(R_1 \cup R_2)$ โดยที่และเป็นนิพจน์ทั่วไปเป็นนิพจน์ปกติ $R_1$ $R_2$
$(R_1 \circ R_2)$ โดยที่และเป็นนิพจน์ทั่วไปคือนิพจน์ทั่วไป $R_1$ $R_2$
$(R_1)^*$ โดยที่เป็นนิพจน์ทั่วไปคือนิพจน์ทั่วไป $R_1$

คำจำกัดความนี้นำมาจากหน้า 64 ของ

Sipser, Michael ทฤษฎีการคำนวณเบื้องต้นรุ่นที่ 3 เรียนรู้ Cengage, 2012

ตอนนี้ฉันมีคำถามต่อไปนี้

ทำไมคุณไม่นิยามมีintersection, complementหรือreverseการดำเนินงาน?
หากเราเปลี่ยนรายการที่ 4 เป็นเราจะได้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันเช่นสำหรับภาษาปกติแต่ละภาษาจะมีนิพจน์ทั่วไปที่ปรับเปลี่ยนและในทางกลับกัน $R_1 \cap R_2$
ฉันรู้ว่าคำจำกัดความนี้สมบูรณ์และกำหนดชัดเจน แต่ทำไมถึงต้องการคำนิยามอื่น ๆ ที่เทียบเท่านิยามที่ชัดเจนและสมบูรณ์

formal-languages regular-languages regular-expressions

— อาลีชากิบะ
แหล่งที่มา

2

โปรด จำกัด ตัวคุณเองไว้ที่หนึ่งคำถามต่อโพสต์

— Raphael

16

1) หากเราอนุญาตการตัดกันและส่วนเสริมบางครั้งนิพจน์ที่เกิดขึ้นบางครั้งเรียกว่านิพจน์ปกติแบบขยาย; เนื่องจากภาษาปกติจะปิดภายใต้การดำเนินการบูลีนพวกเขาไม่มีอะไรได้รับ มันเป็นเพียงน้ำตาลวากยสัมพันธ์ ข้อสรุปที่คล้ายกันมีไว้สำหรับการดำเนินการย้อนกลับ ส่วนหนึ่งของเหตุผลที่ว่าทำไมในอินสแตนซ์แรกการดำเนินการอื่น ๆ ทั้งหมดไม่ได้กล่าวถึงคือเป้าหมายของการรักษาคำจำกัดความที่ง่ายที่สุดเท่าที่เป็นไปได้เพื่อให้พิสูจน์ (อุปนัย) ไม่ต้องดูแลหลายกรณี สาเหตุอื่นอาจเป็นได้ว่าถ้าเราอนุญาตให้มีการดำเนินการบางอย่าง แต่บางอย่างไม่ได้ในบางกรณีผลการเรียนภาษาที่แตกต่างกันอย่างมาก (ผิดปกติ) ตัวอย่างเช่นถ้าเราพิจารณาการแสดงออกปกติเพิ่มเติมโดยไม่ต้องใช้ตัวดำเนินการดาว ซึ่งเป็นภาษาที่ไม่มีดาวหรือภาษาเรียกว่า aperiodic ดูวิกิพีเดีย: ภาษาที่ไม่มีดาว

2) ถ้าเราเก็บรายการที่ 1 - 6 แต่เพียงแค่เปลี่ยนรายการที่ 4 ในการใช้ทางแยกแทนการรวมกันเราจะได้รับคลาสย่อยที่เหมาะสมของภาษาปกติ ตัวอย่างเช่นเราไม่สามารถอธิบายภาษาได้อีกต่อไปเพราะมันจะเกี่ยวข้องกับการรวมกันของและ (ดูหลักฐานด้านล่าง) หากเราอนุญาตให้มีการรวมสิ่งต่าง ๆ ก็เปลี่ยนแปลงไปตามที่เรามีกฎหมายร่วมกันโดย DeMorgan $L = \{a,b\}$ $\{a\}$ $\{b\}$

3) นี่เป็นคำตอบส่วนหนึ่งของฉันใน 1) แต่คุณหมายถึงอะไรเมื่อคุณพูดว่าคำจำกัดความนี้เป็นที่ต้องการ ฉันรู้ว่าคำจำกัดความที่ 2 ถูกละไว้ (อย่างที่เรามี 6 โดยที่ ) หรือ 3 ถูกละไว้ (ในขณะที่เรามี )) หรือทั้งสองอย่างถูกละเว้น ดังนั้นอันนี้จึงไม่ใช่คำจำกัดความที่เป็นไปได้น้อยที่สุด (มันให้น้ำตาล syntactic ด้วยเช่นกันเนื่องจากเรามีสัญลักษณ์พิเศษเพื่ออธิบายและ ) $L(\emptyset^{\ast}) = \{\varepsilon\}$ $\emptyset = L(\overline{ X^{\ast} }$ $\{\varepsilon\}$ $\emptyset$

แก้ไข : ความคิดเห็นแรกที่ฉันกล่าวถึงใน 2) ผิดภาษาในการปิดอุปนัยภายใต้ ,และไม่จำเป็นต้องเป็นเซตย่อยของสำหรับบางเช่น พิจารณา\} อย่างไรก็ตามเรามีไม่สามารถอธิบายได้ด้วยนิพจน์ดังกล่าว ฉันจะให้หลักฐานกล่าวคือฉันพิสูจน์ว่าถ้าสำหรับการแสดงออกบางอย่างกับรายการที่แก้ไข 4 แล้วถ้า (และด้วยเหตุนี้ ) การพิสูจน์ดำเนินไปโดยการชักนำการแสดงออก $\circ$ $^{\ast}$ $\cap$ $x^{\ast}$ $x \in X$ $L(a\circ b) = \{ab\}$ $L = \{a,b\}$ $L = L(R)$ $X = \{a,b\}$ $a\ne b$

{a, b} \subseteq L \Rightarrow a b \in L .

$\{a,b\} \subseteq L \Rightarrow ab \in L.$

R

$R$ . สำหรับกรณีฐานมันถือ vacuously ตอนนี้คิดว่ามันถือสำหรับ(R_2) ถ้าและจากนั้นด้วยเหตุนี้โดยสมมติฐานเหนี่ยวนำเรามี(R_2) ถ้าดังนั้นในฐานะเราต้องมีและหรือในทางกลับกัน สมมติว่ากรณีแรก ถ้าดังนั้นโดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำดังนั้น

L (R_{1}), L (R_{2})

$L(R_1), L(R_2)$

L = L (R_{1} \cap R_{2}) = L (R_{1}) \cap L (R_{2})

$L = L(R_1 \cap R_2) = L(R_1) \cap L(R_2)$

{a, b} \subseteq L

$\{a,b\} \subseteq L$

{a, b} \subseteq L (R_{i}), i = 1, 2

$\{a,b\} \subseteq L(R_i), i = 1,2$

a b \in L (R_{1}) \cap L (R_{2})

$ab \in L(R_1) \cap L(R_2)$

{a, b} \subseteq L (R_{1} \circ R_{2}) = L (R_{1}) L (R_{2})

$\{a,b\} \subseteq L(R_1\circ R_2) = L(R_1)L(R_2)$

a = a \cdot ε = ε \cdot a

$a = a\cdot \varepsilon = \varepsilon\cdot a$

a \in L (R_{1})

$a\in L(R_1)$

ε \in L (R_{2})

$\varepsilon \in L(R_2)$

b \in L (R_{1})

$b \in L(R_1)$

a b \in L (R_{1})

$ab \in L(R_1)$

a b = a b \cdot ε \in L (R_{1}) L (R_{2})

$ab = ab\cdot \varepsilon \in L(R_1)L(R_2)$ (R_2) ตอนนี้สมมติแล้วเรามีตามคำนิยามของ(R_2) สุดท้ายถ้าแล้ว และสำหรับบาง0 ถ้าเราพบโดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำดังนั้นสมมติแต่นี่จะให้คล้ายกันหรือให้และสมมติฐานอุปนัยให้

b \in L (R_{2})

$b \in L(R_2)$

a \cdot b \in L (R_{2}) L (R_{2})

$a\cdot b \in L(R_2)L(R_2)$

L (R_{1}) L (R_{2})

$L(R_1)L(R_2)$

a, b \in L (R_{1}^{*})

$a,b \in L(R_1^{\ast})$

a \in L (R_{1})^{n}

$a \in L(R_1)^n$

b \in L (R_{2})^{m}

$b \in L(R_2)^m$

n, m > 0

$n,m > 0$

n = m = 1

$n = m = 1$

a b \in L (R_{1})

$ab \in L(R_1)$

n > 1

$n > 1$

a \in L (R_{1})

$a \in L(R_1)$

m = 1

$m = 1$

m > 1

$m > 1$

b \in L (R_{1})

$b \in L(R_1)$

a b \in L (R_{1}) \subseteq L (R_{1}^{*})

$ab \in L(R_1) \subseteq L(R_1^{\ast})$ .

◻

$\square$

หมายเหตุ: ข้อสรุปหนึ่งที่ใช้กันทั่วไป: ถ้าแล้วหรือa สิ่งนี้เป็นดังนั้นและหรือและ0 ในกรณีแรกที่เรามีและด้วยเหตุนี้W $a = uw$ $u = a$ $w = a$ $1 = |a| = |uw| = |u| + |w|$ $|u| = 0$ $|w| = 1$ $|u| = 1$ $|w| = 0$ $u = \varepsilon$ $a = w$

— StefanH
แหล่งที่มา

2

แน่นอนไม่ได้อยู่ในชุดของภาษา "subregular" แต่เป็นเพราะAST}

{a, b}

$\{a,b\}$

{a, b}^{*}

$\{a,b\}^{\ast}$

{a, b}^{*} = (a^{*} \circ b^{*})^{*}

$\{a,b\}^{\ast} = (a^{\ast}\circ b^{\ast})^{\ast}$

— rici

ใช่บางครั้งมันเป็นเรื่องยากเล็กน้อยที่จะเห็นสิ่งที่สามารถแสดงออกได้และสิ่งที่ไม่เหมือนกับการรวมดาวอย่างฉลาดและคนอื่น ๆ ที่คุณสามารถทำได้ค่อนข้างไกล

— StefanH

10

รายงานทางเทคนิคที่แนะนำภาษาปกตินิพจน์ทั่วไปและขอบเขต จำกัด ของออโตมาตะจะถามคำถามของคุณในหน้า 70:

คำถามที่อาจเกิดขึ้นกับผู้อ่านทำไมเราเลือกโดยเฉพาะอย่างยิ่งการดำเนินงานสาม ,และ ? $E\vee F$ $EF$ $E*F$

(หลังจากนั้นไม่นานก็สังเกตว่าเป็นตัวดำเนินการที่สะดวกกว่าและมีกำลังเท่ากันดังนั้นทุกวันนี้เราใช้แทน) $E^*$ $E*F$ $E^*$

คำตอบตรงบริเวณหลายหน้า อย่างแรกคือมีการตั้งข้อสังเกตว่าคำตอบจะต้องค้นหาว่าภาษาที่เกิดขึ้นนั้นเป็นคลาสที่น่าสนใจหรือไม่และเปรียบเทียบกับภาษาอื่น ๆ ในหน้า 72 เป็นที่ตั้งข้อสังเกตว่าการปฏิเสธและการรวมเป็นซ้ำซ้อน: พวกเขาไม่ได้เพิ่มพลังการแสดงออกใด ๆ บนหน้า 80 และเพิ่มเติมนั้นจะพิสูจน์ว่าภาษาปกติเป็นภาษาที่รับรู้โดยเครื่องจักรสถานะ จำกัด

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: คำตอบของสเตฟานนั้นสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยตามที่ได้รับในรายงานที่นำแนวคิดเหล่านี้มาใช้เป็นครั้งแรก

— reinierpost
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับลิงค์ ฉันมักจะอธิบายให้นักเรียนของฉันฟังว่าการดำเนินการเป็นนามธรรมที่เป็นธรรมชาติจากตัวเลือก (เช่น if-then-else) ลำดับ (คำแนะนำต่อจากกันและกัน) และการวนซ้ำ (เหมือนในขณะที่ทำ) แต่เห็นได้ชัดว่า Kleene ไม่ได้พูดถึง?

— Hendrik Jan

ฉันแค่ผู้ชายที่ค้นหาบทความของ Kleene และรู้สึกประหลาดใจที่ทุกสิ่งในคำตอบของฉันอยู่ในนั้นแล้ว ฉันไม่รู้อะไรเลย ดังนั้นฉันคิดว่าคำตอบคืออ่านบทความและอาจมองหาสิ่งที่ Kleene เขียนไว้ก่อนหน้านี้

— reinierpost

4

จากการเลือกตัวดำเนินการนี้ (ยูเนี่ยนการต่อข้อมูลและดาว) หนึ่งสามารถสร้าง NFA ด้วยขนาดเชิงเส้นจนถึงขนาดของนิพจน์ ในทางตรงกันข้ามถ้าคุณเพิ่มทางแยกและการเติมเต็มขนาดของหุ่นยนต์เทียบเท่าอาจจะระเบิดแบบไม่เป็นองค์ประกอบซึ่งมักจะไม่ต้องการ

— doganulus
แหล่งที่มา