ทดสอบว่าข้อพิสูจน์โดยพลการเป็นวงกลมหรือไม่?

ฉันกำลังคิดเกี่ยวกับการพิสูจน์และวิ่งเข้าไปในการสังเกตที่น่าสนใจ ดังนั้นการพิสูจน์จึงเทียบเท่ากับโปรแกรมผ่านทาง Curry-Howard Isomorphism และการพิสูจน์แบบวงกลมสอดคล้องกับการเรียกซ้ำแบบไม่สิ้นสุด แต่เรารู้จากปัญหาการหยุดชะงักที่โดยทั่วไปแล้วการทดสอบว่าโปรแกรมที่เกิดซ้ำโดยพลการเกิดขึ้นซ้ำ ๆ ตลอดไปนั้นไม่สามารถตัดสินใจได้ โดย Curry-Howard นั่นหมายความว่าไม่มี "ตัวตรวจสอบการพิสูจน์" ที่สามารถตรวจสอบว่าการพิสูจน์ใช้การให้เหตุผลแบบวงกลมหรือไม่?

ฉันคิดเสมอว่าการพิสูจน์ควรประกอบด้วยขั้นตอนที่ตรวจสอบได้ง่าย (ซึ่งสอดคล้องกับการใช้งานของกฎการอนุมาน) และการตรวจสอบทุกขั้นตอนจะช่วยให้คุณมั่นใจว่าข้อสรุปดังต่อไปนี้ แต่ตอนนี้ฉันสงสัยว่า: จริง ๆ แล้วมันเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนตัวตรวจสอบเพื่อพิสูจน์เพราะไม่มีวิธีใดที่จะแก้ไขปัญหาการหยุดชะงักและตรวจหาเหตุผลแบบวงกลมได้?

ระบบการพิสูจน์ส่วนใหญ่ไม่อนุญาตให้มีการพิสูจน์แบบไม่ จำกัด และเป็นวงกลม แต่จะทำเช่นนั้นโดยการทำให้ค่าของพวกมันไม่ใช่ทัวริงที่สมบูรณ์

$Y$$\forall a \ldotp (a \to a) \to a$

$a$$a$$a$

กุญแจสำคัญในที่นี้คือ Y-combinator นั้นมีอยู่แล้วภายในภาษามันถือเป็นสัจพจน์ ดังนั้นหากคุณไม่ต้องการให้เกิดปัญหาคุณเพียงกำจัดมันเป็นความจริง!

ระบบการพิสูจน์ที่เป็นทางการส่วนใหญ่ด้วยเหตุนี้จึงจำเป็นต้องมีการสอบถามซ้ำเพื่อให้มีหลักฐานที่ชัดเจน พวกเขายอมรับฟังก์ชั่นที่พวกเขาสามารถพิสูจน์ได้ว่าจะหยุด และเป็นผลให้พวกเขาปฏิเสธบางโปรแกรมที่หยุดทำงาน แต่สิ่งที่พวกเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้

Coq ทำสิ่งนี้ในทางที่ค่อนข้าง จำกัด : เพียงแค่ต้องการให้ฟังก์ชัน recursive ใด ๆ มีอาร์กิวเมนต์ที่การเรียกแบบเรียกซ้ำใด ๆ จะใช้เฉพาะอาร์กิวเมนต์ที่มีขนาดเล็กกว่าเท่านั้น Agda ทำสิ่งที่คล้ายกัน แต่ด้วยการตรวจสอบแฟนซีเล็กน้อยเพื่อยอมรับโปรแกรมเพิ่มเติมอีกสองสามรายการ