มีอัลกอริธึมการยกกำลังแบบขนานที่มีประสิทธิภาพมากกว่าการคูณตามลำดับหรือไม่

จำเป็นต้องใช้เพื่อค้นหากำลัง (จำนวนเต็มบวก) ของเมทริกซ์ของจำนวนจริง มีอัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ที่มีประสิทธิภาพมากมาย (เช่นอัลกอริธึมแบบขนานบางอย่างคือแคนนอน, DNS ) แต่มีอัลกอริทึมที่มีจุดมุ่งหมายเพื่อค้นหาพลังของเมทริกซ์และมีประสิทธิภาพมากกว่าการดำเนินการคูณเมทริกซ์ ฉันสนใจอัลกอริทึมแบบขนานโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

หากคุณมีโปรเซสเซอร์หลายตัวที่สามารถทำงานแบบขนานคุณสามารถคำนวณพลังงานใด ๆ ได้สูงสุดถึงพลังงาน (2 ^ k) ในขั้นตอน k ตัวอย่างเช่น: ในการคำนวณคุณคำนวณ:$M^{15}$

ด่าน 1: คำนวณ$M^2$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณและ$M^3 = M^2 * M$$M^4 = M^2 * M^2$

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณและ$M^7 = M^4 * M^3$$M^8 = M^4 * M^4$

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณ$M^{15} = M^8 * M^7$

นี่คือการคูณมากกว่าการคำนวณในการคูณสามครั้งและเพิ่มเป็นกำลังสามในอีกสองคูณ แต่ควรเร็วกว่านี้ถ้าคุณมีโปรเซสเซอร์สองตัว สำหรับพลังสูงตามอำเภอใจคุณจะต้องมีโปรเซสเซอร์มากขึ้น$M^5$$M^5$

หากคุณใช้อัลกอริทึมแรงเดรัจฉานสำหรับการคูณการคูณทีละคอลัมน์คุณอาจประหยัดเวลาได้ด้วยการคำนวณหนึ่งแถวของผลิตภัณฑ์จากนั้นใช้แถวนั้นทันทีสำหรับผลิตภัณฑ์ถัดไป สิ่งนี้จะช่วยในการคำนวณซึ่งเราสามารถเริ่มคำนวณทันทีที่มีการคำนวณแถวแรกของมันจะไม่เป็นที่เป็นประโยชน์กับตั้งแต่ที่เราจำเป็นต้องใช้ทั้งแถวและคอลัมน์ของ 2 สำหรับพลังที่มีขนาดใหญ่คุณอาจจัดเรียงพลังในการคำนวณ$M^3$$M^3$$M^2$$M^4$$M^2$

และหลังการโพสต์นี้มันจะกลายเป็นที่ชัดเจนว่าคุณสามารถใช้โปรเซสเซอร์หลายตัวได้อย่างง่ายดายมาก: คุณเริ่มต้นโดยการคำนวณแถวแรกของM เมื่อคุณมีแถวนั้นคุณจะมีข้อมูลทั้งหมดที่คุณต้องการในการคำนวณแถวแรกของดังนั้นคุณจึงคำนวณแถวที่สองของและแถวแรกของในแบบคู่ขนาน จากนั้นคุณสามารถคำนวณแถวที่สามของแถวที่สองของและแถวแรกของในแบบขนานและต่อ ๆ ไป$M^2 = M * M$$M^3 = M^2 * M$$M^2$$M^3$$M^2$$M^3$$M^4$

สิ่งนี้จะดำเนินการมากกว่าที่จำเป็น (ตัวอย่างเช่นการคูณเมทริกซ์ 14 รายการสำหรับแทนวิธีขั้นต่ำ 5 หรือ 6 ของวิธีสี่ขั้นตอน) หากกำลังไฟไม่มากเมื่อเทียบกับจำนวนโปรเซสเซอร์จะยังคงเร็วขึ้น แต่การคำนวณด้วยสี่โปรเซสเซอร์ที่ใช้วิธีนี้จะไม่มีประสิทธิภาพ การทำสิ่งนี้อย่างเหมาะสมที่สุดจะเป็นปัญหาที่น่าสนใจ$M^{15}$$M^{1000}$

วิธีการรวม: ใช้โปรเซสเซอร์สี่ตัวคุณสามารถคำนวณ AB, ABC, ABCD และ ABCDE ได้เกือบจะขนานกันโดยการคำนวณแต่ละผลิตภัณฑ์ทีละแถว สิ่งนี้ช่วยให้คำนวณทั้งสี่ของเป็นโดยใช้ตัวประมวลผลสี่ตัวในเวลาเดียวกับผลิตภัณฑ์เดียวที่มีตัวประมวลผลเดียว$M^2$$M^5$

จากผลลัพธ์ทั้งสี่นี้และ M ดั้งเดิมคุณสามารถคำนวณเมทริกซ์สี่ตัวจากถึงในเวลาเดียวกันอีกครั้งหากเมทริกซ์นั้นมีอำนาจมากที่สุดห้าแห่งแยกจากกัน ดังนั้นพลังงานแต่ละตัวสูงถึงสามารถคำนวณได้ในเวลาประมาณสองเท่าของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์โปรเซสเซอร์เดียว$M^6$$M^{25}$$M^{25}$

ด้วยการคำนวณเมทริกซ์เหล่านี้เมทริกซ์ทั้งหมดสูงถึงและบางอย่างมากถึงสามารถคำนวณได้ในเวลาสามเท่าของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์เดียวหากมีโปรเซสเซอร์สี่ตัว ที่มีโปรเซสเซอร์ k นี้ควรไปถึงอย่างน้อยพลัง 2 M 125 k ( k + 1 ) $M^{108}$$M^{125}$$k (k+1)^2$

มีสองระดับที่คุณสามารถวิเคราะห์การเร่งความเร็วแบบขนานด้วยการยกกำลังเมทริกซ์: ระดับ "อัลกอริธึมมาโคร" ที่ตัดสินใจว่าเมทริกซ์จะคูณและระดับ "อัลกอริทึมไมโคร" ที่คุณสามารถเร่งการคูณด้วยการขนาน

สำหรับหลังวิกิพีเดียแสดงให้เห็นว่าสำหรับการคูณโดยเมทริกซ์เราสามารถบรรลุความซับซ้อนของในทางทฤษฎีที่มีจำนวนมากมายของตัวประมวลผลหรือมีขั้นตอนวิธีการแบบคู่ขนานที่สมจริงมากขึ้น .$n$$n$$O(\log^2(n))$$O(n)$

(หมายเหตุ: หน้าวิกิพีเดียมีไว้สำหรับการคำนวณเมทริกซ์ทั่วไปฉันไม่แน่ใจว่าจะสามารถทำให้ขนานได้มากขึ้นโดยใช้ข้อมูลที่เรากำลังสองเมทริกซ์)

สำหรับคำถามก่อนหน้านี้จะกลายเป็นจำนวนการคูณเมทริกซ์ที่จำเป็นในการคำนวณสำหรับเมทริกซ์บาง ? (ฉันบอกว่ารอบเพราะการคูณทั้งหมดในรอบที่กำหนดอาจทำแบบขนาน)$A^m$$A$

อัลกอริทึมที่จะชนะตามลำดับตามที่ระบุไว้ในคำตอบอื่น ๆ คือการยกกำลังโดย squaring สิ่งนี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณในการคูณ$A^k$$O(\log(k))$

คำถามคือเราจะเอาชนะสิ่งนี้ด้วยความเท่าเทียมได้ไหม? ฉันอ้างว่าคำตอบคือไม่

เหตุผลง่ายๆก็คือการยกกำลังด้วยการยกกำลังนั้นเป็นอัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก มันช่วยให้คุณสามารถข้ามงานทั้งหมดได้โดยการนำ subresults กลับมาใช้ใหม่ แต่สิ่งนี้จะสร้างการพึ่งพาข้อมูลที่ไม่สามารถทำงานคู่ขนานกันได้ ถ้าเรากำจัดการพึ่งพาข้อมูล แต่เรายังเพิ่มปริมาณงานที่เราต้องทำอย่างมากมาย

เพื่ออธิบายสิ่งนี้ได้ดีขึ้นลองดูว่าคุณจะคูณการคูณเมทริกซ์อย่างไรหากเราไม่ได้ยกกำลัง สมมติว่าคุณกำลังมองหาที่จะคู่ขนานคูณแยกต่างหากตารางการฝึกอบรม:$k$

วิธีธรรมชาติในการทำให้ขนานนี้ชัดเจนคุณควรใช้การเชื่อมโยงที่ไม่เหมาะสมเพื่อทำการคูณในรอบแรก:$\frac{k}{2}$

จากนี้เราสามารถคูณเมทริกซ์ของเราอย่างชัดเจนในการคูณเพราะเราลดขนาดปัญหาลงครึ่งหนึ่งในแต่ละรอบ$k$$O(\log(k))$

อย่างไรก็ตามหากเราต้องทำการยกกำลังด้วยวิธีนี้มันจะเป็นดังนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่งความเท่าเทียมกันทั้งหมดของเราดึงดูดเราคือการคำนวณผลิตภัณฑ์เมทริกซ์เดียวกันเพื่อคำนวณ ! ดังนั้นถ้าเราใช้อัลกอริธึมที่บันทึกเช่นการยกกำลังโดยการยกกำลังเราสามารถทำสิ่งเดียวกันกับอัลกอริทึมแบบขนานในการคูณแต่ละรอบ$A^2$

หากเราต้องการคำนวณสำหรับโดย matrixความซับซ้อนแบบขนานคือสำหรับอัลกอริทึมแบบขนานในแง่ดีหรือสำหรับภาพจริง n n A O ( บันทึก2 ( n ) บันทึก( k ) ) O ( n บันทึก( k ) $A^k$$n$$n$$A$$O(\log^2(n)\log(k))$$O(n\log(k))$

ถ้าโดยลำดับคุณหมายถึงคูณครั้งการแก้ปัญหาของการคำนวณครั้งแรกเพียงอำนาจที่เกี่ยวข้องของ (aka ยกกำลังโดย squaring ) เห็นได้ชัดที่ดีกว่าสำหรับขนาดใหญ่ม$m$$\log m$$2$$m$

การปรับปรุงที่อาจเฉพาะเจาะจงกับการฝึกอบรมบางประเภท ตัวอย่างเช่นถ้าเมทริกซ์ของคุณเป็นเส้นทแยงมุม ดังนั้นการคำนวณพลังงาน th คือใน . m O ( 1 )