เปรียบเทียบจำนวนตรรกยะ

ได้รับ, B , C , D ∈ NและB , D ∉ { 0 } ,$a,b,c,d \in \mathbb N$$b,d \notin \{0\}$

$$\begin{eqnarray*} \frac a b < \frac c d &\iff& ad < cb \end{eqnarray*}$$

คำถามของฉันคือ:

ได้รับ, B , C , D$a,b,c,d$

1. สมมติว่าเราสามารถตัดสินใจ$x < y \in \mathbb Z$ใน$\mathcal{O}(|x| +|y|)$จะมีวิธีของการตัดสินใจใด ๆd < คขโดยไม่ต้อง preform คูณ (หรือหน่วยงาน) ⋅ งและค⋅ ข . หรือมีหลักฐานบางอย่างที่ไม่มีทาง$ad<cb$$a\cdot d$$c \cdot b$
2. มีวิธีที่เร็วกว่าในการเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะมากกว่าการคูณตัวส่วน

งานวิจัยปัจจุบันของฉัน:

ความพยายามเริ่มต้นที่กฎทั่วไปบางอย่าง

เราสามารถลองสร้างกฎทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาการเปรียบเทียบด้วยเหตุผล:

สมมติว่า :$a,b,c,d$

$$a < b \wedge c \ge d \Longrightarrow \frac a b < \frac c d\\ $$ นี่หมายถึงโดยทั่วไปหากด้านซ้ายน้อยกว่าหนึ่งและด้านขวาอย่างน้อยหนึ่งด้านซ้ายจะน้อยกว่าด้านขวา ในหลอดเลือดดำเดียวกัน:

$$a \ge b \wedge c \le d \Longrightarrow \frac a b \not\lt \frac c d\\ $$

กฎอื่น:

$$(b > d) \wedge (a \le c) \Rightarrow \left[\frac a b < \frac c d\right]$$ ฉันคิดว่ากฎนี้เป็นตรรกะเนื่องจากตัวส่วนใหญ่จำนวนน้อยในขณะที่ยิ่งใหญ่ ตัวเศษยิ่งตัวเลข ดังนั้นหากด้านซ้ายมีตัวส่วนที่ใหญ่กว่าและตัวเศษที่เล็กกว่าทางด้านซ้ายจะเล็กกว่า

จากที่นี่เป็นต้นไปเราจะสมมติว่าเพราะมิฉะนั้นเราสามารถแก้ปัญหาด้วยกฎข้างต้นหรือย้อนกลับคำถามไปที่ , และเราจบลงด้วยเงื่อนไขนี้อย่างไรก็ตาม$a<c \wedge b < d$$\frac c d \overset ? < \frac a b$

กฎ : นี่ โดยทั่วไปกฎระบุว่าคุณสามารถลบตัวเศษจากตัวส่วนและตั้งค่าผลลัพธ์เป็นตัวเศษเสมอเพื่อให้ได้ปัญหาที่เท่าเทียมกัน ฉันจะทิ้งหลักฐานไว้

$$\left. \\ \frac {(b-a)} b < \frac {(d-c)} d \iff \left[\frac a b < \frac c d\right] \right|_{a<c,b<d} \\ $$

$$\left. \\ \frac {a} b < \frac {c-a} {d-b} \iff \left[\frac a b < \frac c d\right] \right|_{a<c,b<d} \\ $$

กฎนี้ช่วยให้คุณสามารถลบตัวเศษและตัวส่วนซ้ายจากตัวเศษและตัวหารด้านขวาสำหรับปัญหาที่เทียบเท่ากัน

และแน่นอนว่ามีการปรับสเกล:

$$\left. \\ \frac {ak} {bk} < \frac {c} {d} \iff \left[\frac a b < \frac c d\right] \right|_{a<c,b<d} \\ $$ คุณ สามารถใช้มาตราส่วนเพื่อทำให้กฎการลบมีความสำคัญมากกว่า

ใช้กฎเหล่านี้คุณสามารถเล่นกับสิ่งต่าง ๆ นำไปใช้ซ้ำ ๆ ในชุดค่าผสมอัจฉริยะ แต่มีบางกรณีที่ตัวเลขใกล้เคียงและพยาธิสภาพ

ด้วยการใช้กฎก่อนหน้านี้คุณสามารถลดปัญหาเหล่านี้เป็น:

$$\left. \frac a b < \frac {ap+q} {bp'+q'} \iff \frac a b < \frac {q} {q'} \right|_{a>q,b>q'}$$

บางครั้งคุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้ในตอนนี้บางครั้งก็ไม่ กรณีทางพยาธิวิทยามักจะอยู่ในรูปแบบ:

$$\left. \frac a b < \frac {c} {d} \right|_{a>c,b>d,c\in \mathcal O(a), d \in \mathcal O(b)}$$

จากนั้นคุณพลิกมันและส่งผลในสิ่งเดียวกันเพียงน้อยลงเล็กน้อย แอปพลิเคชันของกฏ + การพลิกแต่ละอันจะลดขนาดลงด้วยหลัก / บิต AFAICT คุณไม่สามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วเว้นแต่ว่าคุณจะใช้กฎครั้ง (หนึ่งครั้งสำหรับแต่ละหลัก / บิต) ในกรณีทางพยาธิวิทยาโดยไม่คำนึงถึงข้อได้เปรียบที่ปรากฏ$\mathcal O(n)$

ปัญหาเปิด?

ฉันตระหนักว่าปัญหานี้ดูเหมือนจะยากกว่าปัญหาเปิดปัจจุบันบางอย่าง

ปัญหาที่อ่อนแอกว่าคือการพิจารณา:

$$ad \overset ? = bc$$

และอ่อนแอกว่า:

$$ad \overset ? = c$$

นี่คือปัญหาที่เปิดกว้างของการตรวจสอบการคูณ มันจะอ่อนแอกว่าเพราะถ้าคุณมีวิธีกำหนดจากนั้นคุณสามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายโดยการทดสอบโดยใช้อัลกอริทึมสองครั้ง ,<โฆษณาiff ทั้งเป็นความจริงที่คุณรู้ว่าภาคตะวันออกเฉียงเหนือปีก่อนคริสตกาล$ad \overset ? < bc$$ad \overset ? = bc$$ad \overset ? < bc$$bc \overset ? < ad$$ad \ne bc$

ตอนนี้เป็นปัญหาเปิดอย่างน้อยในปี 1986:$ad \overset ? = c$

ความซับซ้อนของการคูณและการหาร ให้เราเริ่มต้นด้วยสมการที่ง่ายมาก ax = b เมื่อพิจารณาถึงจำนวนเต็มการทดสอบความสามารถในการละลายและการหาวิธีแก้ปัญหา x เป็นไปได้โดยการหารจำนวนเต็มด้วยส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ สำหรับการตรวจสอบโซลูชันที่กำหนด x การคูณจำนวนเต็มจะเพียงพอ แต่เป็นปัญหาเปิดที่น่าสนใจไม่ว่าจะมีวิธีการตรวจสอบที่เร็วขึ้น

- ARNOLD SCHÖNHAGEในการแก้สมการในแง่ของความซับซ้อนในการคำนวณ

น่าสนใจมากเขายังกล่าวถึงคำถามของการตรวจสอบการคูณเมทริกซ์ :

มันเป็นคำถามที่น่าสนใจว่าการตรวจสอบการคูณเมทริกซ์หรือไม่เช่นการตรวจสอบว่า AB = G สำหรับ C ที่กำหนดสามารถทำได้เร็วกว่าหรือไม่

- ARNOLD SCHÖNHAGEในการแก้สมการในแง่ของความซับซ้อนในการคำนวณ

สิ่งนี้ได้รับการแก้ไขตั้งแต่และเป็นไปได้ที่จะตรวจสอบในเวลาด้วยอัลกอริธึมแบบสุ่ม (โดยเป็นขนาดของเมทริกซ์อินพุตดังนั้นโดยทั่วไปแล้วเวลาเชิงเส้นใน ขนาดของอินพุต) ฉันสงสัยว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะลดการคูณจำนวนเต็มเป็นการคูณเมทริกซ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับความคล้ายคลึงของพวกเขาเนื่องจากความคล้ายคลึงกันของการคูณจำนวนเต็มของ Karatsuba กับอัลกอริทึมการคูณเมทริกซ์ที่ตามมา บางทีในบางวิธีเราสามารถใช้อัลกอริทึมการตรวจสอบการคูณเมทริกซ์สำหรับการคูณจำนวนเต็ม$\mathcal O(n^2)$$n\times n$

อย่างไรก็ตามเนื่องจากความรู้ของฉันยังคงเป็นปัญหาเปิดปัญหาที่แข็งแกร่งของเปิดแน่นอน ฉันอยากรู้อยากเห็นหากการแก้ปัญหาการตรวจสอบความเท่าเทียมกันจะมีผลต่อปัญหาการตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันการเปรียบเทียบ$ad \overset ? < cd$

ความแตกต่างเล็กน้อยของปัญหาของเราคือถ้ามีการรับประกันว่าเศษส่วนจะลดลงเหลือน้อยที่สุด ในกรณีนี้มันง่ายที่จะบอกว่าcd สิ่งนี้มีผลต่อการตรวจสอบการเปรียบเทียบสำหรับเศษส่วนที่ลดลงหรือไม่$\frac a b \overset ? = \frac c d$

คำถามที่ละเอียดกว่านี้จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีวิธีทดสอบสิ่งนี้จะขยายไปสู่การทดสอบ ? ฉันไม่เห็นวิธีที่คุณสามารถใช้ "ทั้งสองวิธี" อย่างที่เราทำกับ<cd$ad \overset ? < c$$ad \overset ? = c$$ad \overset ? < cd$

ที่เกี่ยวข้อง:

• การรับรู้โดยประมาณของภาษาที่ไม่ปกติโดย Finite Automata

  พวกเขาทำงานเกี่ยวกับการคูณโดยประมาณและการตรวจสอบแบบสุ่มซึ่งฉันไม่เข้าใจ

• math.SE: จะเปรียบเทียบการคูณสองรายการโดยไม่คูณได้อย่างไร
• สมมติว่าเราได้รับอนุญาตให้ preprocessมากเท่าที่เราต้องการในเวลาพหุนามเราสามารถแก้เส้นเวลา?$c$$ab=c$
• มีอัลกอริธึมการคูณจำนวนเต็มแบบไม่เชิงเส้นเชิงเวลาหรือไม่? ดูhttp://compgroups.net/comp.theory/nondeterministic-linear-time-multiplication/1129399

  มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีสำหรับการคูณตัวเลข n-bit ด้วยความซับซ้อนของ O (n log log (n) log (n)) และเราไม่สามารถทำได้ดีกว่า O (n) เพราะอย่างน้อยเราต้องดูข้อมูลทั้งหมด คำถามของฉันคือเราสามารถเข้าถึง O (n) สำหรับคลาสที่เหมาะสมของอัลกอริทึม "nondeterministic" ได้หรือไม่?

  แม่นยำกว่ามีอัลกอริทึมที่สามารถยอมรับตัวเลขไบนารีสองบิต "a" และ "b" และหมายเลข 2n- บิต "c" และบอกคุณในเวลา O (n) ว่า "a * b = c" หรือไม่? ถ้าไม่มีมีรูปแบบอื่น ๆ ของใบรับรอง C (a, b, c) ที่อัลกอริทึมสามารถใช้เพื่อทดสอบผลิตภัณฑ์ในเวลาเชิงเส้นหรือไม่? ถ้าไม่ใช่เวลาเชิงเส้นปัญหาของการทดสอบผลิตภัณฑ์อย่างน้อย asymptotically ง่ายกว่าการคำนวณมัน? ยินดีต้อนรับผลลัพธ์ที่รู้จักตามบรรทัดเหล่านี้จะยินดีต้อนรับ

  จอห์น.

  -johnh4717

นี่คือความพยายามบางส่วนที่ทำให้ไม่สามารถปิดบังได้ สมมติว่าเราสามารถใช้การบวกและการลบ (จำนวนคงที่) ใน decider ของเราเช่นเดียวกับจำนวนคงที่ของ wrt ตัวเลขที่กำหนดไว้ล่วงหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถทำจำนวนคงที่ , , ฯลฯ ใน decider ของเรา จากนั้นปริมาณที่เราสามารถคำนวณได้มีรูปแบบโดยที่ค่าคงที่ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าคือโปรดทราบว่าสามารถคำนวณได้ในเวลาการ)${mod}$$mod\ 2$$mod\ 3$$q = k_1 a +k_2 b+k_3 c + k_4 d = \sum k_ia$$k$$q$$O(\sum|a|)$

แก้ไข decider นี้อ้างว่าจะตรวจสอบบิต IFF โฆษณา>พิจารณาเป็นคะแนนใน 4 บิตจะถูกกำหนดโดยตำแหน่งของมันที่พื้นผิวของซึ่งเป็นไฮเปอร์โบลด์ใน 4 มิติ ถ้าเรามีจุดในพื้นที่อินพุต, decider ด้านบนสามารถคำนวณคะแนนภายในระยะทางที่ถูก จำกัด ขอบเขตของจุดอินพุตนี้, นั่นคือจุดเป็นต้นสิ่งนี้กำหนดคิวบอยด์ในพื้นที่ 4 d$B:B=1$$ad>bc$$a,b,c,d$$\mathbb{R}^4$$B$$ad = bc$$(a,b,c,d)$$q: |q-a| = k_1,$

(จะทำให้ความแม่นยำมากขึ้นได้อย่างไร) ระยะทางจากทรงลูกบาศก์ถึงพื้นผิวนั้นอยู่ในขอบเขตทั่วไปและด้วยเหตุนี้พื้นผิวจึงไม่สามารถคำนวณได้โดย decider

คำถามที่ดี. คุณจะยอมรับระดับความมั่นใจหรือไม่

อาจจะแบ่งประมาณ กล่าวคือ

ในการคำนวณหาค่าประมาณผลหารโดยประมาณของ a / b ให้เลื่อน a a ไปทางขวา (log_2 (b)) และตามพื้น (log_2 (b)) จากนั้นเรารู้ว่าความฉลาดทางที่ถูกต้องอยู่ระหว่างค่าสองค่านี้

จากนั้นขึ้นอยู่กับขนาดสัมพัทธ์ของจำนวนเต็มสี่จำนวนหนึ่งอาจสามารถออกกฎบางกรณีและรับความมั่นใจ 100%

หนึ่งอาจทำซ้ำขั้นตอนสำหรับ radix นอกเหนือจาก 2 และโดยการสืบทอดของการดำเนินการดังกล่าวเพิ่มระดับของความเชื่อมั่นจนกว่าการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณ / tie-break อย่างใดสังเกต?

นั่นคือร่างร่างแรกของฉันของวิธีการ

มีวิธีใดในการตัดสินใจเลือกโฆษณา <cb โดยไม่ต้อง preform การคูณ [แพง]

แน่ใจ

แนวคิด:เปรียบเทียบการขยายทศนิยมแบบทีละนิด

สิ่งที่น่ารังเกียจเพียงอย่างเดียวคือเราต้องแยกความเสมอภาคออกก่อนเพราะมิฉะนั้นเราจะไม่ยุติ
มันมีประโยชน์ที่จะเปรียบเทียบส่วนจำนวนเต็มก่อนเพราะมันง่าย

พิจารณาสิ่งนี้:

def less( (a,b), (c,d) ) = {
  // Compare integer parts first
  intA = a div b
  intC = c div d

  if intA < intB
    return True
  else if intA > intB
    return False
  else // intA == intB
    // Normalize to a number in [0,1]
    a = a mod b
    c = c mod d

    // Check for equality by reducing both
    // fractions to lowest terms
    (a,b) = lowestTerms(a,b)
    (c,d) = lowestTerms(c,d)

    if a == c and b == d
      return False
    else
      do
        // Compute next digits in decimal fraction 
        a = 10 * a
        c = 10 * c

        intA = a div b
        intC = c div d

        // Remove integer part again
        a = a mod b
        c = c mod d
      while intA == intC

      return intA < intC
    end
  end
}

โปรดทราบว่าการdo-whileวนซ้ำจะต้องยุติลงเนื่องจากตัวเลขไม่เท่ากัน เราไม่ทราบว่ามันจะทำงานได้นานแค่ไหน หากตัวเลขใกล้เคียงกันอาจเป็นสักครู่

เห็นได้ชัดว่าไม่มีการทวีคูณที่มีราคาแพง เป็นคนเดียวที่เราต้องการคือการคูณ nominators โดย10โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราได้หลีกเลี่ยงการคำนวณ และอย่างชัดเจน$10$$ad$$cb$

รวดเร็วหรือไม่ อาจจะไม่. มีการหารจำนวนเต็มจำนวนมาก modulos และgdcs เพื่อคำนวณและเรามีลูปที่จำนวนการวนซ้ำนั้นแปรผกผันกับระยะห่างระหว่างตัวเลขที่เราเปรียบเทียบ

---

วิธีการช่วยเหลือ:

def lowestTerms(a,b) = {
  d = gcd(a,b)
  if d == 1
    return (a,b)
  else
    return lowestTerms(a div d, b div d)
  end
}