คือความสูงต่ำสุดของไบนารีต้นไม้ทำไม ?

ในคลาส Java ของฉันเรากำลังเรียนรู้เกี่ยวกับความซับซ้อนของคอลเลกชันประเภทต่างๆ

ในไม่ช้าเราจะคุยเรื่องต้นไม้ไบนารีซึ่งฉันอ่านมาแล้ว หนังสือระบุว่าความสูงขั้นต่ำของต้นไม้ไบนารีคือแต่ไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติม$\log_2(n+1) - 1$

มีคนอธิบายได้ไหม

ต้นไม้ไบนารีมี 1 หรือ 2 ลูกที่ไม่ใช่โหนดใบและ 0 โหนดที่โหนดใบ ให้มีโหนดในต้นไม้และเราต้องจัดเรียงในลักษณะที่พวกเขายังคงรูปแบบต้นไม้ไบนารีที่ถูกต้อง$n$

โดยไม่ต้องพิสูจน์ฉันกำลังระบุว่าเพื่อเพิ่มความสูงสูงสุดโหนดที่กำหนดควรจัดเรียงเชิงเส้นนั่นคือแต่ละโหนดที่ไม่ใช่ใบไม้ควรมีลูกเพียงคนเดียว:

                              O 1
                              |
                              O 2
                              |
                              O 3
                              |
                              O 4
                              |
                              O 5
                              |
                              O 6
                              |
                              O 7
                              |
                              O 8

ที่นี่สูตรการคำนวณความสัมพันธ์ของความสูงในแง่ของจำนวนโหนดนั้นตรงไปข้างหน้า หากคือความสูงของต้นไม้แล้วn-1$h$$h = n-1$

ตอนนี้ถ้าเราพยายามสร้างต้นไม้ไบนารีของ nodes ที่มีความสูงขั้นต่ำ (ลดได้เสมอไปเป็นต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์) เราต้องแพ็คโหนดให้มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ในระดับบนก่อนที่จะย้ายไปยังระดับถัดไป ดังนั้นต้นไม้จึงมีรูปแบบของต้นไม้ต่อไปนี้:$n$

                              O
                              |1
                              |
                       O------+-----O
                       |2           |3
                       |            |
                   O---+---O    O---+----O
                   |4      |5    6        7
                   |       |
               O---+--O    O
                8      9    10

ให้เราเริ่มต้นกับกรณีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง1$n = 2^m - 1$

เรารู้ว่า

$$2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{m-1} = 2^m - 1$$

นอกจากนี้มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าระดับที่สามารถมีได้มากที่สุดโหนดในนั้น$i$$2^i$

โดยใช้ผลนี้ในผลรวมข้างต้นเราจะพบว่าในแต่ละระดับจากไปมีอยู่ในระยะที่สอดคล้องกันในการขยายตัวของ1 นี่หมายความว่าต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์โหนดเต็มไปอย่างสมบูรณ์และมีความสูงโดยที่ความสูงของต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์ที่มีโหนด$i$$0$$m$$2^{i-1}$$2^m - 1$$2^m - 1$$h(2^m-1) = m-1$$h(n) =$$n$

การใช้ผลลัพธ์นี้เนื่องจาก tree ที่มีโหนดเต็มแล้วจึงทำให้ tree ที่มี nodes ต้องรองรับโหนดเพิ่มเติม ในระดับถัดเพิ่มขึ้นสูงโดย 1 จากเพื่อเมตร$h(2^m) = m$$2^m-1$$(2^m-1)+1 = 2^m$$m$$m-1$$m$

จนถึงตอนนี้เราได้พิสูจน์แล้วว่า เช่นเดียวกับ

$$h(2^m) = m,$$ $$h(2^{m+1}) = m+1$$ $$h(2^{m+1} -1) = m$$

ดังนั้น$\forall n \in \mathbb{Z}, 2^m \leq n < 2^{m+1}$

$$m \leq h(n) < m+1$$

แต่การบันทึก (ฐาน 2) ทั้งสองข้าง

$$m \leq \log_2(n) < m+1$$ $$m = \lfloor \log_2(n) \rfloor$$

ดังนั้น$\forall n, n \in [2^m, 2^{m+1})$

$$h(n) = m = \lfloor \log_2(n) \rfloor$$

และเราสามารถสรุปผลลัพธ์นี้โดยใช้การเหนี่ยวนำ$\forall n \in \mathbb{Z}$

PS: หนังสือที่ระบุความสูงของต้นไม้ไบนารีที่สมบูรณ์แบบเป็นไม่ถูกต้องสำหรับทั้งหมดเพราะจะให้ค่าที่ไม่ครบถ้วนสำหรับจำนวนเต็มส่วนใหญ่ (เช่นทั้งหมด แต่สมบูรณ์แบบ) ต้นไม้ไบนารี) แต่ความสูงของต้นไม้นั้นเป็นส่วนประกอบที่สมบูรณ์$\log_2(n+1)-1$$n$$\log_2(n)$$n$

ฉันสมมติว่าโดยคุณหมายถึงจำนวนโหนดทั้งหมดในต้นไม้ไบนารี ความสูง (หรือความลึก) ของต้นไม้ไบนารีคือความยาวของเส้นทางจากโหนดรูท (โหนดที่ไม่มีพาเรนต์) ไปยังโหนดลีฟที่ลึกที่สุด ในการทำให้ความสูงต่ำสุดนี้ต้นไม้ส่วนใหญ่จะอิ่มตัวอย่างสมบูรณ์ (ยกเว้นระดับสุดท้าย) เช่นหากระดับเฉพาะมีโหนดที่มีลูกจากนั้นโหนดทั้งหมดในระดับชั้นหลักจะต้องมีลูกสองคน$n$

ดังนั้นต้นไม้ไบนารีอิ่มตัวอย่างเต็มที่กับชั้นจะมีโหนดสูงสุดและจะมีความลึกของ3ดังนั้นหากเรามีความลึกของต้นไม้ไบนารีเราสามารถหาจำนวนโหนดได้อย่างง่ายดาย (ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อต้นไม้มีความอิ่มตัวอย่างเต็มที่) หากคุณจำจากคลาสพีชคณิตนี่เป็นเพียงชุดเรขาคณิตและดังนั้นจึงสามารถแสดงดังนี้$4$$1+1\cdot2+1\cdot2\cdot2+1\cdot2\cdot2\cdot2$$3$

$$\text{nodes}=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{\text{depth}}=\sum_{k=0}^{\text{depth}} 2^{k}=\frac{1-2^{\text{depth}+1}}{1-2}.$$

ลองจัดเรียงใหม่: จากนั้นแก้ไขความลึก: และมีสูตรของคุณ ทีนี้โปรดจำไว้ว่านี่จะให้ผลเป็นจำนวนเต็มเท่านั้นเมื่อต้นไม้ทุกต้นเต็มไปหมด (ต้นไม้ไบนารี 'สมบูรณ์แบบ') ดังนั้นหากคุณได้รับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มอย่าลืมปัดเศษขึ้น

$$\text{nodes}=2^{\text{depth}+1}-1,$$ $$\begin{eqnarray} \text{nodes}+1&=&2^{\text{depth}+1}\\ \log_{2}(\text{nodes}+1)&=&\log_{2}(2^{\text{depth}+1})=\text{depth}+1\\ \log_{2}(\text{nodes}+1)-1&=&\text{depth}. \end{eqnarray}$$

เพื่อให้ความสูงต่ำสุดนั้นเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเราจำเป็นต้องเติมทุกระดับยกเว้นอาจเป็นครั้งสุดท้าย ทำไม? มิฉะนั้นเราสามารถเลื่อนระดับโหนดสุดท้ายขึ้นสู่ช่องว่างในระดับบน

ตอนนี้ลองนึกภาพว่าฉันมีจำนวนถั่วที่ไม่ระบุจำนวนหนึ่งและฉันให้คุณทีละเมล็ดและขอให้คุณสร้างต้นไม้ไบนารีด้วยความสูงขั้นต่ำที่เป็นไปได้ ฉันอาจจะหมดถั่วตามเวลาที่คุณเติมระดับสุดท้ายให้สมบูรณ์หรืออย่างน้อยก็มีหนึ่งถั่วในระดับสุดท้าย ขอให้เราบอกว่าคุณมีต้นไม้สูงของคุณชั่วโมงที่จุดนี้

ในทั้งสองกรณีhไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นซึ่งหมายความว่าคุณมีต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์ของความสูงของเอชกับข้อ จำกัด ของฉัน แต่ฉันคิดว่าถั่วจินตภาพในระดับสุดท้าย (ถ้าคุณไม่สามารถเติมระดับสุดท้ายได้) ดังนั้นจริงๆแล้วมันคือ ดังนั้นอย่างน้อย แต่ใช้เพดานเนื่องจากเราเพิ่มถั่วในจินตนาการและไม่ลบมันออก

$$2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots+2^{h}=2^{h+1}-1 \leq n\,.$$ $$h = \lg(n+1)-1\,.$$