การเทียบเท่าเบต้าคืออะไร

ในสคริปต์ที่ฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับแคลคูลัสแลมบ์ดามีการนิยามเบต้าเทียบเท่าดังนี้:

-equivalenceเป็นความสมดุลที่เล็กที่สุดที่มี\≡ บีตา→การ$\beta$$\equiv_\beta$$\rightarrow_\beta$

ฉันไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร ใครสามารถอธิบายมันในแง่ง่ายกว่า? อาจจะด้วยตัวอย่าง?

ฉันต้องการมันสำหรับบทแทรกตามทฤษฎีบทโบสถ์ - รัสเซอร์พูด

หาก M N แล้วมี L กับ M L และ N \ twoheadrightarrow_ \ เบต้าลิตร$\equiv_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$

$\to_\beta$คือความสัมพันธ์แบบขั้นตอนเดียวระหว่างคำใน$\lambda$ -calculus ความสัมพันธ์นี้ไม่ได้สะท้อนความสมมาตรหรือสกรรมกริยา ความสัมพันธ์สมมูล$\equiv_\beta$เป็นสะท้อนสมมาตรปิดสกรรมกริยาของ\$\to_\beta$ซึ่งหมายความว่า

1. หาก$M\to_\beta M'$แล้ว$M\equiv_\beta M'$M'
2. สำหรับคำศัพท์ทั้งหมด ,เก็บไว้M ≡ บีตา$M$$M\equiv_\beta M$
3. หากแล้วMM ' ≡ บีตา$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M$
4. หากและแล้ว''M ' ≡ บีตาM $M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M''$$M\equiv_\beta M''$
5. $\equiv_\beta$เป็นเงื่อนไขที่ทำให้พอใจได้น้อยที่สุด 1-4

มีความสร้างสรรค์มากขึ้นก่อนอื่นให้ใช้กฎ 1 และ 2 จากนั้นทำซ้ำกฎและซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะไม่มีการเพิ่มองค์ประกอบใหม่เข้ากับความสัมพันธ์$3$$4$

มันเป็นทฤษฎีเซตเบื้องต้นจริงๆ คุณรู้ว่าอะไรคือความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับความสัมพันธ์แบบสมมาตรคืออะไรและความสัมพันธ์แบบสกรรมกริยานั้นคืออะไร? ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันนั้นเป็นคุณสมบัติที่สอดคล้องกับคุณสมบัติทั้งสามนี้

คุณเคยได้ยินเกี่ยวกับ "การปิดสกรรมกริยา" ของความสัมพันธ์หรือไม่? ดีก็เป็นอะไร แต่ความสัมพันธ์สกรรมกริยาน้อยที่มีRนั่นคือความหมายของคำว่า "การปิด" ในทำนองเดียวกันคุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ "การปิดสมมาตร" ของความสัมพันธ์ , "การปิดสะท้อนกลับ" ของความสัมพันธ์และ "การปิดความเท่าเทียมกัน" ของความสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกันR R R $R$$R$$R$$R$$R$

ด้วยความคิดบางอย่างคุณสามารถโน้มน้าวตัวเองว่าปิดสกรรมกริยาของคือ\ ปิดสมมาตรคือ1} ปิดสะท้อนเป็น (ที่เป็นความสัมพันธ์ตัวตน) $R$$R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$$R \cup R^{-1}$$R \cup I$$I$

เราใช้สัญกรณ์สำหรับ\ นี่คือการปิดสกรรมกริยาสะท้อนของRตอนนี้สังเกตว่าถ้าเป็นสมมาตรความสัมพันธ์แต่ละตัวของ , , , , ... คือสมมาตร ดังนั้นจะสมมาตรเช่นกัน$R^*$$I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$$R$$R$$I$$R$$R^2$$R^3$$R^*$

ดังนั้นการปิดความเท่าเทียมกันของคือการปิดสกรรมกริยาปิดสมมาตรของมันคือ * สิ่งนี้แสดงลำดับของขั้นตอนบางขั้นตอนไปข้างหน้า ( ) และบางขั้นตอนย้อนหลัง ( )$R$$(R \cup R^{-1})^*$$R$$R^{-1}$

ความสัมพันธ์จะกล่าวว่ามีคริสตจักร-ร็อคุณสมบัติถ้าปิดเท่าเทียมเป็นเช่นเดียวกับคอมโพสิตความสัมพันธ์ * สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงลำดับขั้นตอนที่ก้าวไปข้างหน้าทั้งหมดมาก่อนตามด้วยขั้นตอนย้อนหลังทั้งหมด ดังนั้นคุณสมบัติของ Church-Rosser กล่าวว่าการดำเนินการใด ๆ ของ interleaving ของขั้นตอนไปข้างหน้าและข้างหลังสามารถทำได้อย่างเท่าเทียมกันโดยทำตามขั้นตอนไปข้างหน้าก่อนและหลังขั้นตอนต่อไป$R$$R^* (R^{-1})^*$