ปัญหาการหยุดชะงักสามารถตัดสินใจได้สำหรับโปรแกรมแท้ ๆ ในคอมพิวเตอร์ในอุดมคติหรือไม่?

มันค่อนข้างง่ายที่จะเข้าใจว่าทำไมปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถตัดสินใจได้สำหรับโปรแกรมที่ไม่บริสุทธิ์ (เช่นที่มี I / O และ / หรือรัฐขึ้นอยู่กับสถานะของเครื่องทั่วโลก); แต่อย่างสังหรณ์ใจดูเหมือนว่าโปรแกรมบริสุทธิ์ที่หยุดทำงานบนคอมพิวเตอร์ในอุดมคติจะสามารถตัดสินใจได้เช่นผ่านการวิเคราะห์เชิงสถิต

อันที่จริงแล้วเป็นกรณีนี้หรือไม่? หากไม่เป็นเช่นนั้นตัวอย่างเอกสารหรือหลักฐานที่หักล้างข้อเรียกร้องนี้มีอะไรบ้าง

นี่เป็นข้อพิสูจน์ถึงความไม่แน่นอนโดยการลดปัญหาการหยุดชะงัก

การลดลง:ให้เครื่องและอินพุตสร้าง Turing Machineซึ่งไม่ได้อ่านอินพุตใด ๆ แต่เขียนและบนเทปและจำลองบนจนกระทั่งหยุดทำงาน$M$$x$$H$$M$$x$$M$$x$$M$

ลักษณะการทำงานของเครื่องใหม่นี้เป็นอิสระจากอินพุตเทปดังนั้นจึงเป็นเครื่องทัวริงบริสุทธิ์ที่ใช้การวิเคราะห์แบบคงที่เท่านั้น หากการวิเคราะห์แบบสแตติกนั้นเพียงพอแล้วมันก็สามารถแสดงได้ว่าหยุดทำงานหรือไม่ซึ่งจะแสดงว่าหยุดทำงานบนซึ่งจะแก้ปัญหาการหยุดชะงักของเครื่องจักรที่ไม่บริสุทธิ์ซึ่งเรารู้ว่าไม่น่าเชื่อถือและปัญหาของคุณก็$H$$H$$M$$x$

ไม่มันไม่ใช่และยิ่งไปกว่านั้นมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ I / O

counterexample ง่าย: เขียนโปรแกรมเพื่อหาเลขคี่ที่สมบูรณ์แบบ (นี่เป็นปัญหาแบบเปิด: เราไม่ทราบว่ายังมีอยู่) - มันไม่ได้ใช้เวลาป้อนข้อมูลใด ๆ และไม่ได้ดำเนินการใด ๆที่ไม่บริสุทธิ์งาน; มันอาจหยุดเมื่อพบหนึ่งหรืออาจทำงานไม่สิ้นสุด (ในกรณีที่ไม่มีตัวเลขดังกล่าว) ตอนนี้ถ้าการวิเคราะห์เชิงสถิตมีพลังมากพอที่จะตัดสินกรณีที่หยุดนิ่งมันจะถูกใช้เพื่อตอบคำถามนี้ (และคำถามอื่น ๆ อีกมากมาย) ที่การหยุดนิ่งหมายถึงการมีอยู่ในเชิงบวกของตัวเลขดังกล่าวและไม่หยุดนิ่ง ไม่ทรงพลัง

การพิสูจน์แบบคลาสสิกโดยการทแยงมุม เป็นเครื่องที่บริสุทธิ์ไม่เพียง แต่เป็นเครื่องทัวริงที่บริสุทธิ์ แต่ไม่ได้พึ่งพา "ปัญหาเปิด"

ตัวอย่างเช่นเครื่องทัวริงที่เรียกใช้งานการคาดคะเนของโคลลาตซ์นั้นไม่ทราบสถานะการหยุดชะงัก แต่นั่นก็ขึ้นอยู่กับความไม่รู้ของเราเกี่ยวกับการคาดเดาของโคลลาตซ์วันหนึ่งเราอาจพิสูจน์ว่าโคลท์ต (อาจมีบางอินพุตไม่หยุดหรือหยุดชั่วคราวเสมอ)

ดังนั้น Collatz คาดเดาอยู่แล้วสามารถตอบคำถามของคุณ (ชั่วคราวอย่างน้อย) แต่มันต้องอาศัยในสิ่งที่เราไม่ทราบว่า แต่การพิสูจน์แบบดั้งเดิมนั้นเป็นปัญหาที่แก้ไขแล้ว : เรารู้อยู่แล้วว่ามันไม่สามารถตัดสินใจได้

สำหรับบันทึกหลักฐานการพิสูจน์ความไม่ได้มาตรฐานของปัญหาการหยุดชะงักนั้นขึ้นอยู่กับความคิดเดียวกับ quines: เป็นไปได้ที่จะเขียนโปรแกรมบางคำศัพท์ย่อยซึ่งประเมินเป็นซอร์สโค้ดสำหรับโปรแกรมทั้งหมด จากนั้นหากมีฟังก์ชั่นhaltsที่ให้ซอร์สโค้ดสำหรับโปรแกรมคืนค่า True หากโปรแกรมนั้นหยุดในอินพุตทั้งหมดและ False มิฉะนั้นจะเป็นโปรแกรมทางกฎหมาย:

prog() = if halts "prog" then prog() else ()

ที่"prog"จะแสดงออกบางอย่างที่ประเมินเพื่อซอร์สโค้ดสำหรับprog; อย่างไรก็ตามคุณจะเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าprogหยุด (สำหรับอินพุตทั้งหมด) ถ้าไม่หยุดซึ่งเป็นความขัดแย้ง ไม่มีสิ่งใดในหลักฐานนี้ที่ต้องอาศัย I / O ในทางใดทางหนึ่ง (คุณต้องการให้ I / O เขียนควินินหรือไม่)

อย่างไรก็ตามคุณอาจต้องการดู "I / O แบบโต้ตอบ" เพื่อหาหลักฐานเพิ่มเติมว่า I / O นั้นไม่เกี่ยวข้องกับปัญหาของคุณทั้งหมด (โดยทั่วไปโปรแกรมที่ I / O สามารถลดลงเป็นโปรแกรมที่รับอินพุตเป็น (ชัดเจน) ข้อโต้แย้งการทำงานและส่งกลับผลลัพธ์เป็น (เพิ่มเติม) ผลลัพธ์เพิ่มเติมในภาษาขี้เกียจ) น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถหาหน้าเว็บที่สมเหตุสมผลไม่เอนเอียง (หรือข้อความโต้ตอบ) ในเว็บได้ในขณะนี้