สัญชาตญาณด้านหลังประตู Hadamard

ฉันพยายามที่จะสอนตัวเองเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ควอนตัมและฉันมีความเข้าใจที่ดี-ish ของพีชคณิตเชิงเส้น

ฉันผ่านประตูไม่ได้ซึ่งก็ไม่ได้แย่เกินไป แต่แล้วฉันก็ไปที่ประตู Hadamard และฉันก็ติดอยู่ ส่วนใหญ่เป็นเพราะในขณะที่ฉัน "เข้าใจ" การโกงฉันไม่เข้าใจสิ่งที่พวกเขาทำจริง ๆ หรือทำไมคุณถึงอยากจะทำมัน

ตัวอย่างเช่นเมื่อประตู Hadamard ใช้เวลาในมันให้| 0 ⟩ + | 1 $|0\rangle$ . สิ่งนี้หมายความว่า? สำหรับประตูไม่ได้ใช้ใน| 0⟩และให้| 1⟩ ไม่มีอะไรที่ไม่ชัดเจนเกี่ยวกับเรื่องนั้น มันให้ "ตรงกันข้าม" ของบิต (สำหรับการทับซ้อนมันใช้ในα|0⟩+β|1⟩และให้β|0⟩+α|1⟩) และฉันเข้าใจว่าทำไมมันถึงมีประโยชน์ ด้วยเหตุผลเดียวกัน (โดยทั่วไป) ว่ามันมีประโยชน์ในคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม แต่สิ่งที่ (ตัวอย่าง) เป็นประตู Hadamard ทำเรขาคณิตเพื่อเวกเตอร์[อัลฟ่าบีตา$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$$|0\rangle$$|1\rangle$$\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$$\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$? และทำไมจึงมีประโยชน์นี้

ประตู Hadamard อาจเป็นครั้งแรกที่คุณพบกับการสร้างซ้อนทับ เมื่อคุณบอกว่าคุณสามารถเชื่อมโยงประโยชน์ของประตูPauli (aka ) กับคู่คลาสสิกของมันได้ดี Hadamard เป็นที่ที่คุณออกจากอะนาล็อกคลาสสิคแล้ว มันจะเป็นประโยชน์สำหรับว่าด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่คือว่ามันมักจะถูกนำมาใช้ในรูปแบบชุดสากลของประตู (เช่น Clasical ด้วยและพัดลมออกหรือมีพัดลมออกเพียงอย่างเดียว)$X$NOTANDNOTNOR

ในขณะที่เกทมีประโยชน์โดยตรงในการสร้างเลขสุ่ม (ตามที่ Yuval Filmus กล่าว) พลังที่แท้จริงของมันจะปรากฏขึ้นเมื่อปรากฏในหลาย ๆ กรณีหรือใช้ร่วมกับประตูอื่น เมื่อคุณมีn qubits เริ่มต้นได้ใน| ตัวอย่างเช่น0 ⟩และใช้หนึ่งHกับแต่ละรายการในลำดับใด ๆ สิ่งที่คุณได้รับคือ ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ⊗ ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ⊗ … ⊗ ( | 0 ⟩ + |$H$$n$$|0\rangle$$H$ ซึ่งสามารถขยายได้ถึง 1 / 2 n / 2 ⋅ ( | 00 ... 00 ⟩ + | 00 ... 01 ⟩ + | 00 ... 11 ⟩ + ... + | 11 ... 11 ⟩ ) Voila เราสามารถ ตอนนี้ประเมินฟังก์ชั่นอินพุตที่ต่างกัน 2 nแบบขนาน! นี่คือตัวอย่างเช่นขั้นตอนแรกในอัลกอริทึมของโกรเวอร์

$$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$$ $$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$$ $2^n$

การใช้งานที่ได้รับความนิยมอีกอย่างหนึ่งคือ Hadamard ในหนึ่ง qubit ตามด้วยการCNOTควบคุมด้วย qubit ที่คุณเพิ่งใส่เข้าไป ดู: นั่นเป็นรัฐเบลล์ซึ่งเป็นรากฐานที่สำคัญของต่าง ๆที่สำคัญควอนตัมการกระจายโปรโตคอลการคำนวณการวัดตาม,ควอนตัม teleportationและการใช้งานอื่น ๆ อีกมากมาย นอกจากนี้คุณยังสามารถใช้ซ้ำ qubits เป้าหมายมากขึ้นเป็นศูนย์ที่เริ่ม (ที่มีการควบคุมเดียวกัน) เพื่อสร้าง 2 - 1 / 2 ( | 00 ... 00 ⟩ + | 11 ... 11 ⟩ ) ซึ่งเป็นที่รู้จักในฐานะรัฐ GHZ

$$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$$ CNOT $$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$$ ยังมีประโยชน์อย่างมาก

$H^2 = I$CNOT

---

NOT$x$$y$$z$CNOTในเครื่องคอมพิวเตอร์ควอนตัมของคุณคุณเพียงแค่สร้างอุปกรณ์ที่คลาสสิกราคาแพงมากและ uneffective.) หมุนเกี่ยวกับสิ่งที่เอียงเป็นสิ่งที่สำคัญและอีกหนึ่งส่วนผสมที่คุณมักจะต้องเป็นยังหมุนโดยส่วนขนาดเล็กของมุมเช่น 45 ° (เช่นเดียวกับในเฟส ประตูกะ )

$\alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$0$$|\alpha|^2$$1$$|\beta|^2$$\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$

$\left| 0 \right\rangle$$\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

$\left| 0 \right\rangle$$\left| 1 \right\rangle$

ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านต่อในการคำนวณควอนตัม เมื่อคุณไปถึงอัลกอริทึมควอนตัม (เช่น Grover's และ Shor's) คุณจะเข้าใจว่าประตูควอนตัมเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับอะไร