พิจารณาการเกิดซ้ำ
สำหรับที่มีอย่างต่อเนื่องในเชิงบวกบางและ 1
ฉันรู้ทฤษฎีต้นแบบสำหรับการแก้ไขการเกิดซ้ำ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าเราจะแก้ปัญหาความสัมพันธ์นี้ได้อย่างไรโดยใช้ คุณเข้าใกล้พารามิเตอร์รากที่สองได้อย่างไร
พิจารณาการเกิดซ้ำ
สำหรับที่มีอย่างต่อเนื่องในเชิงบวกบางและ 1
ฉันรู้ทฤษฎีต้นแบบสำหรับการแก้ไขการเกิดซ้ำ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าเราจะแก้ปัญหาความสัมพันธ์นี้ได้อย่างไรโดยใช้ คุณเข้าใกล้พารามิเตอร์รากที่สองได้อย่างไร
คำตอบ:
เราจะใช้ข้อเสนอแนะของราฟาเอลและเปิดเผยการเกิดซ้ำอีกครั้ง ในต่อไปนี้ลอการิทึมทั้งหมดเป็นฐาน 2 เราได้รับ
ที่β(n)เป็นวิธีการที่หลายต่อหลายครั้งที่คุณต้องใช้รากที่จะเริ่มต้นด้วย n และการเข้าถึง 2. ปรากฎว่าβ(n)=บันทึกบันทึกn คุณจะเห็นสิ่งนั้นได้อย่างไร พิจารณา: n
In your comment you mentioned that you tried substitution but got stuck. Here's a derivation that works. The motivation is that we'd like to get rid of the multiplier on the right hand side, leaving us with something that looks like . In this case, things work out very nicely:
If you write you have .
Now you know the recursion tree has hight of order , and again it's not hard to see it's in each level, so total running time is in: , which concludes for .
In all when you see or , is good to check logarithm.
P.S: Sure proof should include more details by I skipped them.
Let's follow Raphael's suggestion, for :
Edit: Thanks Peter Shor for the correction!
Unravel the recurrence once as follows:
Continuing the unraveling for steps, we have that:
These steps will continue until the base case of . Solving for we have:
Substituting into the unraveled recurrence, we have