ลดการไหลสูงสุดให้กับการจับคู่สองฝ่าย?

มีการลดลงที่มีชื่อเสียงและสง่างามจากปัญหาสูงสุดฝ่ายที่ตรงกันกับปัญหาที่เกิดขึ้นสูงสุดไหล: เราสร้างเครือข่ายที่มีโหนดแหล่ง , ขั้วโหนดและหนึ่งโหนดสำหรับแต่ละรายการที่จะจับคู่แล้วเพิ่มขอบที่เหมาะสม$s$$t$

มีวิธีหนึ่งในการลดการไหลสูงสุดไปสู่การจับคู่สองฝ่ายสูงสุดในเวลาพหุนามเนื่องจากทั้งคู่สามารถแก้ปัญหาแบบเอกเทศได้ในเวลาพหุนาม อย่างไรก็ตามมีการลดเวลาพหุนาม "ดี" จากการไหลสูงสุด (ในกราฟทั่วไป) ไปเป็นการจับคู่สองฝ่ายสูงสุดหรือไม่?

น่าแปลกที่ไม่มีการลดเช่นนี้ อย่างไรก็ตามในบทความล่าสุด Madry (FOCS 2013) แสดงให้เห็นถึงวิธีการลดการไหลสูงสุดในกราฟความจุของหน่วยไปที่$b$- จับคู่ในกราฟสองฝ่าย

ในกรณีที่คุณไม่คุ้นเคยกับจำนวนสูงสุด $b$- ปัญหาการจับคู่นี่เป็นลักษณะทั่วไปของการจับคู่ที่กำหนดดังนี้อินพุตเป็นกราฟ (ในกรณีของเรากราฟสองฝ่าย) $G=(V,E)$และชุดของความต้องการครบถ้วนสำหรับแต่ละจุดสุดยอดกับความต้องการของจุดยอด $v$ แสดงโดย $b_v$. เป้าหมายคือการหาชุดของขอบที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้$S$ ดังกล่าวที่ไม่มีจุดสุดยอด $v$ มีมากกว่า $b_v$ ขอบใน $S$ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อ $v$. มันเป็นแบบฝึกหัดง่ายๆที่จะสรุปการลดลงจาก bipartite ที่จับคู่กับการไหลสูงสุดและแสดงการลดที่คล้ายกันจาก bipartite$b$- การจับคู่กับกระแสสูงสุด (หนึ่งใน) ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจจากกระดาษของ Madry คือในบางแง่มุมปัญหาเหล่านี้จะเทียบเท่ากันทำให้การลดลงอย่างง่ายซึ่งช่วยลดการไหลสูงสุดในกราฟความจุต่อหน่วย (โดยทั่วไปคือกราฟที่ผลรวมของความสามารถ$|u|_1$ เป็นเส้นตรงในจำนวนขอบ $m$) ถึง $b$- ปัญหาการจับคู่ในกราฟด้วย $O(m)$ โหนดจุดยอดและผลรวมของความต้องการ

หากคุณกำลังสนใจในรายละเอียดโปรดดูมาตรา 3 ถึงทฤษฎีบท 3.1 และมาตรา 4 (และหลักฐานของความถูกต้องในภาคผนวก C) ของรุ่น arXiv กระดาษ Madry ของที่นี่ หากคำศัพท์ไม่ปรากฏชัดแจ้งให้ดูหัวข้อ 2.5 สำหรับการสรุปที่เกี่ยวข้องกับ$b$- จับคู่ปัญหาและระลึกไว้เสมอว่า $u_e$ คือความจุของขอบ $e$ ในอินสแตนซ์การไหลสูงสุดดั้งเดิม

ดังนั้นนี่คือการลองตอบคำถามของคุณ:

ทฤษฎีบทของ Konig เกี่ยวกับการจับคู่แบบสองฝ่ายได้รับการพิสูจน์และลดลงโดยใช้ทฤษฎีบท Max-Flow Min-Cut ทฤษฎีบทของ Konig ระบุดังต่อไปนี้ หาก G เป็นกราฟสองส่วนให้ max {| M | : M คือการจับคู่} = min {| C | : C คือหน้าปก} พิสูจน์ ส่วนสูงสุด {| M |} ≤ {| C |} เป็นเรื่องเล็กน้อย ให้ P และ Q เป็นคลาส bipartition ของ G เราเพิ่มจุดยอดสองจุด r และ s ใน G และ arcs rp สำหรับทุก ๆ$p\in P$ และ qs สำหรับทุกคน $q \in Q$และ pq ขอบโดยตรงจาก $p\in P$ ถึง $q\in Q$. นี่คือกราฟิค$G_{∗}$. เรากำหนดความจุ u (rp) = 1, u (pq) =$\infty$, u (qs) = 1 ให้ x เป็นกระแสอินทิกรัลที่เป็นไปได้ x จากนั้น x (e) = 0 หรือ 1 ดังนั้นเราสามารถนิยาม M = {$e \in E$: x (e) = 1} M คือการจับคู่กับ | M | =$f_{x}$. ถัดไปการจับคู่ M ใน G ก่อให้เกิดการไหลอินทิกรัลที่เป็นไปได้ x ใน$G_{∗}$ ด้วยค่าการไหล $f_{x}$= | M | ดังนี้ กำหนด x (pq) = 1 ถ้า$pq \in M$, x (rp) = 1 ถ้า p เกิดเหตุการณ์ขึ้นที่ขอบใน M, x (qs) = 1 หาก q เกิดเหตุการณ์ขึ้นที่ขอบใน M ในกรณีอื่น ๆ ทั้งหมด x (e) = 0 ดังนั้นขนาดสูงสุดที่ตรงกัน M ใน G สอดคล้องกับการไหลสูงสุดใน $G_{∗}$ซึ่งมีขนาดเท่ากับจำนวนการตัดขั้นต่ำตามทฤษฎีบท Max-Flow Min-Cut พิจารณาการตัดต่ำสุด minimum (R) มันมีความจุ จำกัด ดังนั้นจึงไม่มี arc pq จากนั้นขอบของ G ทุกครั้งจะเกิดเหตุการณ์ขึ้นด้วยองค์ประกอบของ C = (P \ R)$\cup (Q \cap R)$คือ C คือใบปะหน้า ยิ่งกว่านั้น u (C) = | P \ R | +$|Q \cap R|$ และ C เป็นปกขนาด | M |

ฉันหมายความว่านี่คือทุกสิ่งในความเห็นของฉันที่คุณถามในคำถามและนี่คือคำตอบที่เป็นไปได้ของฉัน :)