วิธีการวัดความซับซ้อนของปัญหาลอการิทึมไม่ต่อเนื่อง?

คำตอบสำหรับคำถามนี้ใน Crypto Stack Exchangeนั้นโดยทั่วไปบอกว่าในการวัดความซับซ้อนของปัญหาลอการิทึมเราจะต้องใช้ความยาวของตัวเลขที่แสดงขนาดของกลุ่มเข้าบัญชี ดูเหมือนว่าไม่มีเหตุผลทำไมเราไม่เลือกขนาดของกลุ่มเป็นข้อโต้แย้ง? มีเกณฑ์ที่จะรู้ว่าต้องเลือกอาร์กิวเมนต์อะไร? ในความเป็นจริงฉันรู้ว่าฉันมองข้ามบางสิ่งบางอย่างที่สำคัญเนื่องจากความซับซ้อนเปลี่ยนไปอย่างมากถ้าเราทำตามขนาดของกลุ่ม

ไม่สำคัญว่าคุณจะเลือกขนาดของกลุ่มหรือไม่ $|G|$ หรือขนาดของจำนวนเต็มแทน $n$ เป็นพารามิเตอร์ตั้งแต่ $n \approx \log |G|$. มีสองเหตุผลที่มักจะอธิบายความซับซ้อนในแง่ของ$n$ ค่อนข้างมากกว่า $|G|$:

1. $n$คือความยาวของอินพุต (แม่นยำยิ่งขึ้นอินพุตมีความยาว ) และเรามักจะวัดความซับซ้อนของอัลกอริทึมเป็นฟังก์ชันของความยาวอินพุต$\Theta(n)$

2. มักจะ$n$เป็นจำนวนน้อยเช่น$1024$ในขณะที่ $|G|$ เป็นจำนวนมากเช่น (ประมาณ) $2^{1024}$.