หาก (λ x. xx) มีประเภทระบบประเภทนั้นจะไม่สอดคล้องกันหรือไม่?

หากระบบประเภทสามารถกำหนดประเภทให้กับλ x . x xหรือไม่ยุติ(λx . x x) (λ x . x x)ระบบนั้นจะไม่สอดคล้องกันเป็นผลหรือไม่ ทุกประเภทอยู่ภายใต้ระบบนั้นหรือไม่ คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นเท็จ?

แน่นอนการกำหนดประเภทให้กับคือไม่เพียงพอสำหรับความไม่สอดคล้องกันในระบบเราสามารถได้รับมา $\lambda x. x\ x$λ x x x : ( ∀ X . X ) → ( ∀ X . X $F$

ในวิธีที่ตรงไปตรงมาสวย (นี่คือการออกกำลังกายที่ดี!) อย่างไรก็ตาม,ไม่สามารถพิมพ์ได้ดีในระบบนี้, สมมติว่า -consistency ของลำดับเลขคณิตลำดับที่ 2, เพราะนี่หมายความว่าคำที่พิมพ์ได้ดีทั้งหมดกำลังทำให้เป็นมาตรฐาน$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

นอกจากนี้ระบบยังสอดคล้องกัน สิ่งนี้ตามมาจากการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างใดอย่างหนึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าคำใด ๆ ของประเภทไม่สามารถมีรูปแบบปกติหรือโต้แย้งง่ายกว่ามากซึ่งแต่ละประเภทจะได้รับการตั้งค่าชุดหรือและ มันสามารถแสดงให้เห็นว่าทุกประเภทที่ได้รับมอบหมายได้รับมอบหมายและได้รับมอบหมาย$F$∅ { ∅ } { ∅ } ∀ X X $\forall X.X$$\varnothing$$\{\varnothing\}$$\{\varnothing\}$$\forall X.X$$\varnothing$ (และดังนั้นจึงไม่สามารถสืบได้)

อาร์กิวเมนต์หลังสามารถดำเนินการในลำดับเลขคณิตแรก ความจริงที่ว่าสามารถดีพิมพ์ในระบบที่สอดคล้องกันสามารถมองเห็นเป็นค่อนข้างรบกวนและเป็นผลมาจากระบบimpredicativity ไม่น่าแปลกใจเลยที่บางคนตั้งคำถามถึงความน่าเชื่อถือของระบบลอจิกของตรรกะ อย่างไรก็ตามไม่พบความไม่สอดคล้องกันในระบบดังกล่าว$\lambda x.x\ x$

ในอีกทางหนึ่งเพื่อให้สามารถยืนยันได้ทั่วไปว่าไม่สามารถพิมพ์ได้ดีในระบบที่สอดคล้องกันคุณต้องมี "โครงสร้างเชิงตรรกะ" ที่เพียงพอใน ระบบพิมพ์เพื่อให้สามารถกำหนดความสอดคล้องอย่างชัดเจน จากนั้นคุณต้องแสดงให้เห็นว่าคำที่ไม่มีรูปแบบปกติของหัว (เช่นเดียวกับข้างบน) สามารถมีรูปแบบใดก็ได้ซึ่งก็ไม่ชัดเจนเช่นกัน!$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถดูได้จากคำตอบของคำถามที่เกี่ยวข้อง: /cstheory//a/31321/3984