asymptotically shuffling ไร้เดียงสาแค่ไหน?

เป็นที่ทราบกันดีว่าอัลกอริทึม 'ไร้เดียงสา' สำหรับการสับเปลี่ยนอาเรย์โดยการสลับแต่ละไอเท็มกับอีกอันที่สุ่มเลือกไม่ทำงานอย่างถูกต้อง:

for (i=0..n-1)
  swap(A[i], A[random(n)]);

โดยเฉพาะตั้งแต่ที่แต่ละ$n$ซ้ำหนึ่งของ$n$เลือกที่จะทำ (กับความน่าจะเป็นชุด) มี$n^n$ที่เป็นไปได้ 'เส้นทาง' ผ่านการคำนวณ; เพราะจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้$n!$ไม่แบ่งเท่า ๆ กันตามจำนวนของเส้นทาง$n^n$มันเป็นไปไม่ได้ที่อัลกอริธึมนี้จะสร้างnแต่ละอัน$n!$การเรียงสับเปลี่ยนที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน (แต่อย่างใดอย่างหนึ่งควรใช้การสลับแบบFischer-Yatesซึ่งจะเปลี่ยนการโทรเพื่อเลือกหมายเลขสุ่มจาก [0..n) ด้วยการโทรเพื่อเลือกหมายเลขแบบสุ่มจาก [i..n); เป็นสิ่งที่สงสัยกับคำถามของฉัน)

สิ่งที่ฉันสงสัยคือการสับเปลี่ยนไร้เดียงสาจะเป็นไปได้อย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้$P(n)$เป็นชุดของพีชคณิตทั้งหมดและ$C(\rho)$เป็นจำนวนเส้นทางผ่านขั้นตอนวิธีการที่ไร้เดียงสาที่ผลิตที่เกิดการเปลี่ยนแปลง$\rho\in P(n)$สิ่งที่เป็นพฤติกรรมเชิงของการทำงาน

$\qquad \displaystyle M(n) = \frac{n!}{n^n}\max_{\rho\in P(n)} C(\rho)$

และ

$\qquad \displaystyle m(n) = \frac{n!}{n^n}\min_{\rho\in P(n)} C(\rho)$ ?

ปัจจัยนำคือการ 'ทำให้ปกติ' ค่าเหล่านี้: ถ้าการสลับแบบไร้เดียงสาเป็น 'asymptotically good' ดังนั้น

$\qquad \displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n) = \lim_{n\to\infty}m(n) = 1$1

ฉันสงสัย (ตามแบบจำลองคอมพิวเตอร์บางอย่างที่ฉันเคยเห็น) ว่าค่าจริงนั้นมีขอบเขตห่างจาก 1 แต่ก็เป็นที่รู้กันว่ามี จำกัด หรือถ้าอยู่ห่างจาก 0? สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับพฤติกรรมของปริมาณเหล่านี้คืออะไร?$\lim M(n)$$\lim m(n)$

เราจะแสดงโดยอุปนัยว่าการเปลี่ยนลําดับρ n = ( 2 , 3 , 4 , ... , n , 1 )เป็นตัวอย่างกับC ( ρ n ) = 2 n - 1 หากเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดนี้มันเป็นไม่กี่ครั้งแรกn (ดูหมายเหตุสำหรับOEIS ลำดับ A192053 ) จากนั้นม. ( n ) ≈ ( 2 / E ) $\rho_n = (2,3,4,\ldots, n,1)$$C(\rho_n) = 2^{n-1}$$n$$m(n) \approx (2/e)^{n}$. ดังนั้นค่านาทีมาตรฐานเช่นค่าสูงสุดปกติคือ 'ไม่ดีมาก'

เคสฐานนั้นง่าย สำหรับขั้นตอนการเหนี่ยวนำเราจำเป็นต้องมีบทแทรก:

เล็มม่า:ในทุก ๆ ทางจาก( 2 , 3 , 4 , … , n , 1 )ถึง( 1 , 2 , 3 , … , n )ไม่ว่าจะเป็นการเคลื่อนไหวครั้งแรกสลับตำแหน่ง1และnหรือการย้ายครั้งสุดท้ายสลับตำแหน่ง1และn .$(2,3,4, \ldots, n, 1)$$(1,2,3, \ldots, n)$$1$$n$$1$$n$

หลักฐานการร่าง:ไม่ควร พิจารณาย้ายครั้งแรกที่เกี่ยวข้องกับn 'ตำแหน่ง TH สมมติว่ามันเป็นสิ่งที่ฉัน 'TH ย้ายฉัน≠ 1และฉัน≠ n การย้ายครั้งนี้ต้องวางรายการที่1ในฉัน 'สถาน TH ตอนนี้พิจารณาย้ายไปที่สัมผัสรายการที่1 สมมติว่าการย้ายครั้งนี้เป็นเจ 'TH ย้าย การย้ายครั้งนี้จะต้องสลับฉันและเจย้ายรายการที่1ลงในJ 'สถานที่, th กับฉัน< $n$$i$$i\neq 1$$i \neq n$$1$$i$$1$$j$$i$$j$$1$$j$$i < j$ Jอาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันบอกว่ารายการ$1$สามารถย้ายไปทางขวาเท่านั้นในภายหลัง แต่ข้อที่1ต้องจบลงในตอนแรกซึ่งขัดแย้งกัน $1$$\square$

ตอนนี้ถ้าแรกแลกเปลี่ยนย้ายตำแหน่งที่1และnย้ายที่เหลือจะต้องใช้เวลาการเปลี่ยนลําดับ( 1 , 3 , 4 , 5 , ... , n , 2 )เพื่อ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... , n ) หากย้ายที่เหลือไม่ได้สัมผัสตำแหน่งแรกแล้วนี่คือการเปลี่ยนลําดับρ n - 1ในตำแหน่งที่2 $1$$n$$(1, 3,4,5, \ldots, n,2)$$(1,2,3,4, \ldots, n)$$\rho_{n-1}$ nและเรารู้โดยอุปนัยว่ามี$2 \ldots n$C ( ρ n -1 )= 2 n - 2 พา ธจะต้องสิ้นสุดในตำแหน่งที่ไม่ถูกต้องที่ทำสิ่งนี้ การโต้แย้งที่คล้ายกับหลักฐานของเลมม่ากล่าวว่าไม่มีเส้นทางใดที่สัมผัสตำแหน่งแรกเช่นเดียวกับรายการ$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$1$

ถ้าการย้ายครั้งสุดท้ายสลับตำแหน่ง1และnการเคลื่อนที่n - 1ครั้งแรกจะต้องทำการเปลี่ยนรูป( 2 , 3 , 4 , … , n , 1 )เพื่อเปลี่ยนรูป( n , 2 , 3 , 4 , … , n - 1 , 1 ) อีกครั้งหากการเคลื่อนไหวเหล่านี้ไม่ได้สัมผัสตำแหน่งสุดท้ายดังนั้นนี่คือการเปลี่ยนแปลงρ n - 1และโดยการเหนี่ยวนำมี$1$$n$$n-1$$(2,3,4,\ldots, n,1)$$(n,2, 3,4, \ldots, n-1, 1)$$\rho_{n-1}$C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 2 พา ธที่ทำ และอีกครั้งหากหนึ่งใน n - 1แรกเคลื่อนไปแตะที่ตำแหน่งสุดท้ายรายการที่ 1จะไม่สิ้นสุดในตำแหน่งที่ถูกต้อง$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$n-1$$1$

ดังนั้นC ( ρ n ) = 2 C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 1$C(\rho_n) = 2C(\rho_{n-1}) = 2^{n-1}$

หลังจากขุดไปรอบ ๆ ด้วยตัวชี้ของ mhum ไปที่ OEIS ในที่สุดฉันก็ได้พบการวิเคราะห์ที่ยอดเยี่ยมและการโต้เถียงเบื้องต้นที่ดี (เนื่องจาก) เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ถึง Goldstein และ Moews [1] ซึ่งM ( n )เติบโตเร็วอย่างรวดเร็วในn :$M(n)$$n$

ใด ๆ ร่วมด้วยιของ{ 1 ... n }สอดคล้องกับการทำงานของ 'ไร้เดียงสา' สับขั้นตอนวิธีการที่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตัวตนเป็นผลมันตั้งแต่ขั้นตอนวิธีการจะสลับkกับι ( k )และต่อมาแลกเปลี่ยนι ( k )กับk , ปล่อยให้ทั้งสองไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งหมายความว่าจำนวนของการทำงานของอัลกอริทึมที่ให้เปลี่ยนแปลงตัวตนเป็นอย่างน้อยจำนวน involutions ที่Q ( n ) (ในความเป็นจริงการแสดงความคิดเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ติดต่อกันทางจดหมายเป็น 1-1 และดังนั้นจึงเป็นสิ่งQ $\iota$$\{1\ldots n\}$$k$$\iota(k)$$\iota(k)$$k$$Q(n)$$Q(n)$ ) และสูงสุดในM ( n )เป็นที่สิ้นสุดจากด้านล่างโดยQ ( n )$M(n)$$Q(n)$

Q ( n )เห็นได้ชัดว่าเป็นไปตามจำนวนของชื่อรวมทั้งหมายเลขโทรศัพท์: ดูhttp://oeis.org/A000085และhttp://en.wikipedia.org/wiki/Telephone_number_%28mathematics%29 เส้นกำกับอาการเป็นที่รู้จักกันดีและปรากฎว่า Q ( n ) ≈ C ( $Q(n)$e )n/2e√n ; จากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำQ(n)=Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)มันสามารถเหนี่ยวนำได้แสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนR(n)=Q(n$Q(n) \approx C\left(\frac{n}{e}\right)^{n/2}e^\sqrt{n}$$Q(n) = Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)$Q ( n - 1 ) เป็นที่พอใจ$R(n) = \frac{Q(n)}{Q(n-1)}$n <R(n)< √n + 1และจากการวิเคราะห์พื้นฐานมีได้รับชั้นนำn n / 2ระยะใน asymptotics แม้คำอื่น ๆ ที่ต้องใช้ความพยายามระมัดระวังมากขึ้น ตั้งแต่ 'ขนาดปัจจัย' n $\sqrt{n}\lt R(n)\lt\sqrt{n+1}$$n^{n/2}$n nในคำจำกัดความของM(n)เป็นเพียงประมาณC$\frac{n!}{n^n}$$M(n)$n e - n , คำที่เป็นผู้นำของQ(n)ควบคุมและให้ผลตอบแทน (asymptotically)M(n)≥Cn ( n + 1 ) / 2 e - 3 n / 2 + $C\sqrt{n}e^{-n}$$Q(n)$n .$M(n)\geq Cn^{(n+1)/2}e^{-3n/2+\sqrt{n}}$

Goldstein และ Moews ในความเป็นจริงไปได้ที่จะแสดงใน [1] ที่เปลี่ยนแปลงตัวตนเป็นส่วนใหญ่มีแนวโน้มขนาดใหญ่nดังนั้น≥ในความเป็นจริง≈และพฤติกรรมของM ( n )จะตัดสินได้อย่างเต็มที่ สิ่งนี้ยังคงเป็นคำถามของพฤติกรรมของm ( n ) ที่เปิดอยู่ ฉันไม่แปลกใจเลยถ้ามันให้ผลการวิเคราะห์ในกระดาษของพวกเขา แต่ฉันไม่ได้มีโอกาสอ่านอย่างใกล้ชิดพอที่จะเข้าใจวิธีการของพวกเขาจริงๆพอที่จะคลานผลลัพธ์พื้นฐาน$n$$\geq$$\approx$$M(n)$$m(n)$

[1] Goldstein, D. และ Moews, D .: "ตัวตนคือการสับเปลี่ยนแลกเปลี่ยนที่มีแนวโน้มมากที่สุดสำหรับ n ขนาดใหญ่", http://arxiv.org/abs/math/0010066