คู่ที่ใกล้ที่สุดของคะแนนระหว่างสองชุดในแบบ 2 มิติ

ฉันมีสองชุดจุดในระนาบ 2 มิติ ฉันต้องการค้นหาจุดที่ใกล้ที่สุดเช่น , และระยะทางแบบยุคลิดระหว่างมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ? สามารถทำได้ในเวลาโดยที่? $S,T$ $s,t$ $s \in S$ $t \in T$ $s,t$ $O(n \log n)$ $n = |S|+|T|$

ฉันรู้ว่าถ้าฉันให้เป็นหนึ่งเดียวชุดแล้วมันเป็นไปได้ที่จะหาคู่ที่อยู่ใกล้จุดในเวลาโดยใช้ขั้นตอนวิธีการหารและพิชิตมาตรฐาน อย่างไรก็ตามอัลกอริทึมนั้นดูเหมือนจะไม่พูดคุยกับกรณีของสองชุดเนื่องจากไม่มีการเชื่อมต่อระหว่างระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้เคียงที่สุดสองจุดภายในหรือเทียบกับระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้เคียงที่สุดทั้งสองชุด $S$ $s,s' \in S$ $O(n \log n)$ $S$ $T$

ผมคิดว่าการจัดเก็บชุดในต้นไม้ -d แล้วสำหรับแต่ละโดยใช้แบบสอบถามที่ใกล้ที่สุดเพื่อนบ้านเพื่อหาจุดที่ใกล้ที่สุดในเพื่อsแต่ที่เลวร้ายที่สุดกรณีที่ทำงานเวลานี้อาจจะไม่ดีเท่าที่เวลา มีผลลัพธ์ที่บอกว่าถ้าคะแนนของถูกกระจายแบบสุ่มดังนั้นเวลาทำงานที่คาดไว้สำหรับแต่ละแบบสอบถามคือดังนั้นเราจะได้อัลกอริทึมที่มีเวลาทำงานที่คาดหวังถ้าเรา ได้รับการรับรองว่ามีการกระจายคะแนนแบบสุ่ม - แต่ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่จะใช้สำหรับการรวบรวมคะแนนใด ๆ (ไม่จำเป็นต้องกระจายแบบสุ่ม) $T$ $k$ $s \in S$ $T$ $s$ $O(n^2)$ $T$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

แรงจูงใจ: อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพจะเป็นประโยชน์สำหรับคำถามอื่นนี้

algorithms computational-geometry

— DW
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ใช่นี้สามารถเป็นเวลา สร้างแผนภาพ Voronoi สำหรับTจากนั้นสำหรับแต่ละจุดให้หาเซลล์ของแผนภาพ Voronoi ที่มีอยู่จุดศูนย์กลางของเซลล์นั้นคือจุดที่ใกล้เคียงกับที่สุด $O(n \log n)$ $T$ $s \in S$ $t \in T$ $s$

คุณสามารถสร้างแผนภาพ Voronoi ในเวลาและแต่ละแบบสอบถาม (พบเซลล์ที่มี ) สามารถทำได้ในเวลาดังนั้นเวลาทำงานรวมเป็นเวลา $O(n \log n)$ $s$ $O(\log n)$ $O(n \log n)$

— DW
แหล่งที่มา

ดีมากง่ายกว่าที่ฉันคิดได้ :)

— aelguindy

วิธีการที่ดี! ลิงก์อาจช่วยได้โดยเฉพาะในด้านการสืบค้น ฉันพบหน้า Wikipedia ที่แสดงว่าปัญหาตำแหน่งจุดทั่วไปสามารถแก้ไขได้ในเวลา

แต่มีวิธีที่ดีกว่าสำหรับกรณีพิเศษของเซลล์ Voronoi หรือไม่ การค้นหาของฉันหันเท่านั้นถึงคำตอบนี้ซึ่งมันไม่

วิธี

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

— j_random_hacker

ความซับซ้อนของปัญหาตำแหน่งของจุดมักจะได้รับในแง่ของจำนวนจุดยอดรวม (ที่นี่ของแผนภาพ Voronoi) จำนวนนี้มีแนวโน้มมากกว่าจำนวนคะแนนใน

และแม้กระทั่ง

. ฉันไม่แน่ใจว่าจำนวนจุดยอดถูกล้อมรอบด้วย

ใช่ไหม?

T

$T$

n = | S | + | T |

$n = |S| + |T|$

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

— Albjenow

@Albjenow ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความกังวลของคุณหรือไม่ แต่ใช่ใน 2 มิติฉันเชื่อว่าจำนวนจุดยอดในแผนภาพ Voronoi บน

points คือ

(ฉันดูเหมือนจะจำได้ว่าเป็น

หรือ อะไรแบบนั้น).

n

$n$

O (n)

$O(n)$

\leq 6 n

$\le 6n$

— DW

ที่ดูเหมือนว่าถูกต้องตามคำถามนี้ใน math.stackexchange

— Albjenow

ฉันกำลังขยายความคิดเห็นของฉันเป็นคำตอบเนื่องจากฉันหาคำตอบแบบกึ่งพอใจ วิธีนี้จะช่วยแก้ปัญหาสำหรับระยะทางเท่านั้น คำตอบนี้ผิดโดยทั่วไป $L^1$

นี้กระดาษแก้ปัญหาการหาคู่ที่ใกล้เคียงที่สุดของคะแนนในมิติในกรณีที่ชุดจะถูกคั่นด้วยไฮเปอร์เพลใน ) $d$ $O(n \log^{d-1} n)$

สำหรับสองมิติแก้กรณีนี้ในคำตอบที่คุณอ้างอิงเป็นแรงจูงใจหลักของคุณสำหรับคำถามของคุณใน )นอกจากนี้ยังสามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหากรณีทั่วไปของปัญหา 2D ใน ) $O(n \log n)$ $O(n \log^2 n)$

กำหนดสองชุดของคะแนนใน 2D, ฝังไว้ในพื้นที่ 3 มิติ, แทนที่ชุดโดยบางและตั้งโดยในทิศทางทางเลือกของสามารถทำเพื่อไม่ให้ส่งผลกระทบต่อทางเลือกของคู่ที่อยู่ใกล้จุดโดยการจะมีขนาดเล็กกว่าความแม่นยำของจุดป้อนข้อมูลของคุณ (และเสแสร้งบิตแม่นยำสำหรับแต่ละอินพุตประสานงาน) ใช้อัลกอริทึม 3D จากกระดาษที่อ้างถึง $S, T$ $S$ $-\delta_z$ $T$ $\delta_z$ $z$ $\delta_z$ $\delta_z$

— aelguindy
แหล่งที่มา

+1 แต่มีสองสามสิ่งเกี่ยวกับกระดาษนั้น (ซึ่งฉันเพิ่งเริ่มอ่าน): (i) พวกเขาอ้างสิทธิ์เพื่อแก้ปัญหาสำหรับกรณีระยะไกลเป็นเส้นตรง (แมนฮัตตัน); (ii) ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมพวกเขาคิดว่าภูมิภาค

ในหน้า 2 มีจุดตรง 1 จุด ฉันได้สันนิษฐานว่า

เป็นจุดใน

กับ Y มัธยฐานร่วมอ๊อดในและ

เป็นจุดใน

กับ Y มัธยฐานร่วมอ๊อดในแต่ผมไม่เห็นว่าข้างต้นสามารถปฏิบัติตามนี้ .

P_{2}

$P_2$

p_{m}

$p_m$

P

$P$ $P$

q_{m}

$q_m$

Q

$Q$ $Q$

— j_random_hacker

@j_random_hacker กระดาษแค่แก้ปัญหาสำหรับระยะทาง L1 และคำตอบนี้ผิด :) และฉันคิดว่านั่นคือตัวอักษร

l

$l$

— aelguindy

ลิงก์ใช้งานไม่ได้ :(

— Keerthana Gopalakrishnan